Напруги при позацентровому розтягуванні стиску. Позацентрова дія поздовжньої сили

Позацентрове стиск. Побудова ядра перерізу. Вигин із крученням. Розрахунки на міцність при складному напруженому стані.

Позацентрове стиск- це вид деформації, у якому поздовжня сила у поперечному перерізі стрижня прикладена над центрі тяжкості. При позацентровому стисканні, крім поздовжньої сили (N), виникають два згинальні моменти (M x і M y).

Вважають, що стрижень має велику жорсткість на вигин, щоб знехтувати прогином стрижня при позацентровому стиску.

Перетворимо формулу моментів при позацентровому стиску, підставляючи значення згинальних моментів:

Позначимо координати деякої точки нейтральної (нульової) лінії при позацентровому стиску xN, yN і підставимо їх у формулу нормальних напруг при позацентровому стиску. Враховуючи, що напруги в точках нейтральної лінії дорівнюють нулю, після скорочення на P/F, отримаємо рівняння нейтральної лінії при позацентровому стиску:

(35)

Нульова лінія при позацентровому стиску та точка застосування навантаження завжди розташовані по різні боки від центру тяжкості перерізу.

Мал. 43. Позацентрове стиск

Відрізки, що відсікаються нульовою лінією від осей координат, позначені ax та ay, легко знайти з рівняння нульової лінії при позацентровому стисканні. Якщо спочатку прийняти xN = 0, yN = ay, а потім прийняти yN = 0, xN = ax, то знайдемо точки перетину нульової лінії при позацентровому стиску з головними центральними осями:

Мал. 44. Нейтральна лінія при позацентровому розтягуванні – стисканні

Нейтральна лінія при позацентровому стиску розділить поперечний переріз на дві частини. В одній частині напруги будуть стискуючими, в іншій - розтягуючими. Розрахунок на міцність, як і у разі косого вигину, проводять за нормальними напругами, що виникають у небезпечній точці поперечного перерізу (найбільш віддаленої від нульової лінії).

(36)

Ядро перерізу - мала область навколо центру тяжіння поперечного перерізу, характерна тим, що будь-яка поздовжня сила, що стискає, прикладена всередині ядра, викликає у всіх точках поперечного перерізу стискаючі напруги.

Приклади ядра перерізу для прямокутного та круглого поперечних перерізів стрижня.

Мал. 45. Форма ядра перерізу для прямокутника та кола

Вигин з крученням. Такому навантаженню (одночасній дії крутних і згинальних моментів) часто схильні до валів машин і механізмів. Для розрахунку бруса необхідно насамперед встановити небезпечні перерізи. Для цього будуються епюри згинальних і крутних моментів.

Використовуючи принцип незалежності дії сил, визначимо напруги, що виникають у брусі окремо для кручення, і для вигину.

При крученні в поперечних перерізах бруса виникають дотичні напруги, що досягають найбільшого значенняв точках контуру перерізу При згинанні в поперечних перерізах бруса виникають нормальні напруги, що досягають найбільшого значення в крайніх волокнах бруса .

Другим практично важливим випадком складання деформацій від вигину і поздовжніх сил є так зване позацентрове стиск або розтягнення, що викликається одними поздовжніми силами. Цей вид навантаження досить поширений у техніці, тому що в реальній ситуації майже неможливо прикласти навантаження, що розтягує точно в центрі тяжіння.

Позацентровим розтягуванням-стисненням називається випадок, коли рівнодіюча сил, прикладених до відкинутої частини стрижня, спрямована паралельно до осі стрижня, але не збігається з цією віссю (рис.8.10).

Мал.8 .1 0

Нецентроване розтягування (стиснення) відчувають короткі стрижні. Всі перерізи є рівнонебезпечними, тому немає потреби у побудові епюр внутрішніх силових факторів.

Припустимо, що після проведення розрізу рівнодіюча Fсил, що діють на відкинуту частину і прикладена до решти, проходить через точку з координатами ( x F; y F) у головних центральних осях поперечного перерізу (рис. 8.11).

Рис.8.11

Наведемо силу Fу центр тяжкості перерізу, тобто. направимо вздовж осі стрижня. При цьому з'являться дві пари сил M x і M yщодо основних центральних осей (рис.8.11c).

Таким чином, у поперечному перерізі стрижня при позацентровому розтягуванні та стисканні виникають три внутрішні силові фактори: нормальна сила N = F і два згинальні моменти M x = F∙ y Fі M y = F∙ x F щодо основних центральних осей поперечного перерізу.

Величина нормальних напруг обчислюється за формулою (8.1), яку можна перетворити на вигляд

,

або, виносячи перший доданок за дужки,

г
де

Ми отримали формулу нормальних напруг у поперечному перерізі при позацентровому розтягуванні чи стисканні. Якщо сила розтягує, то перед дужкою ставиться знак плюс, якщо сила стискає, ставиться – мінус.

Т
коли рівняння нейтральної лінії записується у вигляді:

або у формі рівняння у відрізках:

г
де

З формул (8.9) випливають деякі закономірності, що пов'язують положення полюса (тобто точки докладання сили) та нейтральної лінії, які зручно використовуватиме для аналізу розв'язання задачі. Перерахуємо найважливіші з цих закономірностей:

Нейтральна лінія завжди розташована в квадранті, протилежному до того, в якому знаходиться полюс (рис. 8.12);

Якщо полюс знаходиться на одній з головних осей, то нейтральна лінія перпендикулярна до цієї осі;

Якщо полюс наближається до центру тяжкості перерізу, то нейтральна лінія віддаляється від нього.

Якщо полюс рухається прямою лінією, то нейтральна лінія повертається навколо нерухомої точки.

Рис.8.12

Для перерізів зі складним контуром знання положення нульової лінії дуже важливе. Найбільші за величиною нормальні напруги виникають у точках поперечного перерізу найбільш віддалених від нульової лінії.

Найбільша нормальна напруга, що розтягує, виникає в точці А (рис.8.12)

(8.10)

а найбільша стискаюча нормальна напруга виникає в точці У

(8.11)

Таким чином, при позацентровому розтягуванні крім нормальних напруг, що розтягують, у поперечному перерізі можуть виникнути і стискаючі. При позацентровому стисканні – навпаки.

Якщо матеріал стрижня однаково пручається розтягуванню і стиску, то умова міцності набуває такого вигляду:

.

Крихкий матеріал має різні властивості в умовах розтягування і стиснення – погано пручається розтягуванню і добре стиску, умови міцності складають для двох точок: де діють максимальні розтягуючі (т. A) та максимальні стискаючі (т. B) напруги

Другим практично важливим випадком складання деформацій від вигину і поздовжніх сил є так зване позацентрове стиск або розтягнення, що викликається одними поздовжніми силами. Цей вид деформації виходить при дії на стрижень двох рівних і протилежних сил Р, спрямованих на прямий АА, Паралельної осі стрижня (Рис.3 а). Відстань точки Авід центру тяжкості перерізу ОА=еназивається ексцентриситетом.

Розглянемо спочатку випадок позацентрового стиснення, що має більший практичний значення.

Нашим завданням є знаходження найбільших напруг, матеріал стрижня та перевірка міцності. Для вирішення цього завдання докладемо в точках Пропо дві рівні та протилежні сили Р(Рис.3 б). Це не порушить рівноваги стрижня в цілому і не змінить напруги в його перерізах.

Сили Р, закреслені один раз, викличуть осьовий стиск, а пари сил Р, закреслені двічі, викликають чистий згин моментами . Розрахункова схема стрижня показано на Рис.3 ст. Так як площина дії згинальних пар ОАможе не збігатися з жодною з головних площин інерції стрижня, то у загальному випадку має місце комбінація поздовжнього стиснення та чистого косого вигину.

Так як при осьовому стиску і чистому згині напруги у всіх перерізах однакові, то перевірку міцності можна зробити для будь-якого перерізу, хоча б С-С (Рис.3 б, в).

Відкинемо верхню частинустрижня і залишимо нижню (Рис.3 г). Нехай осі Оуі Ozбудуть головними осями інерції перерізу.

Рис.3.а) розрахункова схема б) перетворення навантажень в)наведена розрахункова схема г) механізм дослідження напруг

Координати точки А, - Точки перетину лінії дії сил Рз площиною перерізу, - нехай будуть і . Умовимося вибирати позитивні напрямки осей Оуі Ozтаким чином, щоб крапка Аопинилася у першому квадранті. Тоді й будуть позитивні.

Для того щоб знайти найбільш небезпечну точку в обраному перерізі, знайдемо нормальну напругу в будь-якій точці Уз координатами zі у. Напруги в перерізі С - С будуть складатися з напруги осьового стиснення силою Рі напруги від чистого косого вигину парами з моментом Реде . Стиснуть напруги від осьових сил Ру будь-якій точці рівні , де площа поперечного перерізу стрижня; що стосується косого вигину, то замінимо його дією згинальних моментів у основних площинах. Вигин у площині х Оунавколо нейтральної осі Ozбуде викликатись моментом і дасть у точці Унормальна стискаюча напруга

Так само нормальна напруга в точці Увід вигину в головній площині х Oz, Викликане моментом , буде стискає і виразиться формулою.

Підсумовуючи напруги від осьового стискування і двох плоских вигинів і вважаючи напруги, що стискають, негативними, отримуємо таку формулу для напруги в точці У:

Ця формула годиться для обчислення напруги в будь-якій точці будь-якого перерізу стрижня, стоїть тільки замість уі zпідставити координати точки щодо основних осей зі своїми знаками.

У разі позацентрового розтягування знаки всіх складових нормальної напруги у точці Узміняться на зворотні. Тому для того, щоб отримувати правильний знак напруги як при позацентровому стисканні, так і при позацентровому розтягуванні, потрібно, крім знаків координат уі z, враховувати також і знак сили Р; при розтягуванні перед виразом

повинен стояти знак плюс, при стисканні - мінус.

Отриманій формулі можна надати дещо іншого вигляду; винесемо за дужку множник; отримаємо:

Тут і - радіуси інерції перерізу щодо головних осей (згадаймо, що і).

Для відшукання точок з найбільшою напругою слід так вибирати уі zщоб досягло найбільшої величини. Змінними у формулах (1) і (2) є два останні доданки, що відображають вплив вигину. Оскільки при згині найбільші напруги виходять у точках, найбільш віддалених від нейтральної осі, то тут, як і при косому згині, треба знайти положення нейтральної осі.

Позначимо координати точок цієї лінії через і; так як у точках нейтральної осі нормальні напруги дорівнюють нулю, то після підстановки у формулу (2) значень і отримуємо:

Це і буде рівняння нейтральної осі. Очевидно, ми отримали рівняння прямої, яка не проходить через центр тяжкості перерізу.

Щоб побудувати цю пряму, найпростіше обчислити відрізки, що відсікаються нею на осях координат. Позначимо ці відрізки та . Щоб знайти відрізок, що відсікається на осі Оу, треба в рівнянні (3) покласти

тоді ми отримуємо:

Якщо величини і позитивні, то відрізки і будуть негативні, тобто нейтральна вісь буде розташована по інший бік центру перетину тяжкості, ніж точка А(Рис.3 р).

Нейтральна вісь ділить перетин на дві частини - стислу та розтягнуту; на Рис.3 г розтягнута частина перерізу заштрихована. Проводячи до контуру перерізу дотичні, паралельні нейтральній осі, отримуємо дві точки і в яких будуть найбільші стискаючі і розтягувальні напруги.

Вимірюючи координати уі zцих точок і підставляючи їх значення формулу (1), обчислюємо величини найбільших напруг у точках і :

Якщо матеріал стрижня однаково пручається розтягуванню і стиску, то умова міцності набуває такого вигляду:

Для поперечних перерізів з кутами, що виступають, у яких обидві головні осі інерції є осями симетрії (прямокутник, двотавр та ін) і тому формула спрощується, і ми маємо

Якщо ж матеріал стрижня неоднаково чинить опір розтягуванню і стиску, необхідно перевірити міцність стрижня як і розтягнутої, і у стиснутої зонах.

Однак може статися, що і для таких матеріалів буде достатньо однієї перевірки міцності. З формул (4) і (5) видно, що положення точки Адокладання сили та положення нейтральної осі пов'язані: чим ближче підходить точка Адо центру перерізу, тим менше величини і тим більше відрізки і . Таким чином, з наближеннямкрапки Адо центру тяжкості перерізу нейтральна вісь видаляєтьсявід нього, і навпаки. Тому при деяких положеннях точки Анейтральна вісь проходитиме позапереріз і весь перетин працюватиме на напругу одного знака. Очевидно в цьому випадку завжди достатньо перевірити міцність матеріалу в точці.

Розберемо практично важливий випадок, коли до стрижня прямокутного перерізу (Мал. 4) прикладена позацентрова сила Ру точці А, що лежить на головній осі перерізу Оу. Ексцентриситет ОАдорівнює е, розміри перерізу bі d. Застосовуючи отримані вище формули, маємо:

Рис.4.Розрахункова схема бруса прямокутного перерізу.

Напруга в будь-якій точці Уодно

Напруги у всіх точках лінії, паралельної осі Oz, однакові. Положення нейтральної осі визначається відрізками

Нейтральна вісь паралельна осі Oz; крапки з найбільшими напругами, що розтягують і стискають, розташовані на сторонах 1—1 і 3—3.

Значення і вийдуть, якщо підставити замість уйого значення. Тоді

Лекція №28.Ядро перерізу при позацентровому стисканні

При конструюванні стрижнів з матеріалів, що погано чинять опір розтягуванню (бетон), дуже бажано домогтися того, щоб весь перетин працював лише на стиск. Цього можна досягти, не даючи точці докладання сили Рнадто далеко відходити від центру тяжкості перерізу, обмежуючи величину ексцентриситету.

Конструктору бажано заздалегідь знати, який ексцентриситет при вибраному типі перерізу можна допустити, не ризикуючи викликати у перерізах стрижня напруги різних знаків. Тут вводиться поняття про так зване ядрі перерізу. Цим терміном позначається деяка область навколо центру тяжкості перерізу, всередині якої можна розташовувати точку докладання сили Р, не викликаючи у перерізі напруги різного знака.

Поки що точка Арозташовується всередині ядра, нейтральна вісь не перетинає контуру перерізу, все воно лежить по однубік від нейтральної осі і працює лише на стиск. При видаленні точки Авід центру тяжкості перерізу нейтральна вісь наближатиметься до контуру; межа ядра визначиться тим, що при розташуванні точки Ана цьому кордоні нейтральна вісь підійде впритул до перетину, торкнеться його.

Рис.1.Комбінації положення стискаючої сили та нейтральної лінії

Таким чином, якщо ми переміщатимемо точку Атак, щоб нейтральна вісь котиласяза контуром перерізу, не перетинаючи його, то точка А обійде по межі ядра перерізу. Якщо контур перерізу має «впадини», то нейтральна вісь котитиметься по контуру, що обгинає.

Щоб отримати обрис ядра, необхідно дати нейтральній осі кілька положень, що стосуються контуру перерізу, визначити для цих положень відрізки і обчислити координати і точки докладання сили за формулами, що випливають з відомих залежностей:

це і будуть координати точок контуру ядра та .

При багатокутнийформі контуру перерізу (Рис.2), поєднуючи послідовно нейтральну вісь з кожною зі сторін багатокутника, ми по відрізках і визначимо координати та точок межі ядра, що відповідають цим сторонам.

При переході від одного боку контуру перерізу до іншого нейтральна вісь буде обертатисянавколо вершини, що поділяє ці сторони; точка докладання сили переміщатиметься межі ядра між отриманими вже точками. Встановимо, як має переміщатися сила Рщоб нейтральна вісь проходила весь час через одну і ту ж точку У(,) - оберталася б біля неї. Підставляючи координати цієї точки нейтральної осі у відоме рівняння нейтральної осі (лінії), отримаємо:

Рис.2.Ядро перерізу для багатокутної форми поперечного перерізу

Таким чином координати та точки докладання сили Рпов'язані лінійно.При обертанні нейтральної осі біля постійної точки В точка А докладання сили рухається прямою.Назад, переміщення сили Рпо прямій пов'язане з обертанням нейтральної осі біля постійної точки.

На Рис.3 зображено три положення точки докладання сили на цій прямій і відповідно три положення нейтральної осі. Таким чином, при багатокутній формі контуру перерізу обрис ядра між точками, що відповідають сторонам багатокутника, складатиметься з відрізків прямих ліній.

Рис.3.Динаміка побудови ядра перерізу

Якщо контур перерізу повністю або частково обмежений кривими лініями, то побудова межі ядра можна вести по точках. Розглянемо кілька простих прикладівпобудови ядра перерізу.

За виконання цієї побудови для прямокутного поперечного перерізу скористаємося отриманими формулами.

Для визначення меж ядра перерізу під час руху точки Апо осі Оузнайдемо те значення , у якому нейтральна вісь займе положення Н 1 Про 1

Рис.4.будова ядра для прямокутного перерізу.

Для цього сила повинна рухатися по прямій 1 - 2. Так само можна довести, що іншими межами ядра будуть лінії 2-3, 3-4 і 4-1.

Таким чином, для прямокутного перерізу ядро ​​буде ромбом із діагоналями, рівними однієї третинивідповідної сторони перерізу. Тому прямокутний переріз при розташуванні сили по головній осі працює на напруги одного знака, якщо точка докладання сили не виходить за межі середньої третинисторони перерізу.

Рис.5.Динаміка зміни напруги при зміні ексцентриситету.

Епюри розподілу нормальних напруг по прямокутному перерізу при ексцентриситеті, що дорівнює нулю, меншому, рівному і більшому однієї шостої ширини перерізу, зображені на Рис.5.

Зазначимо, що за всіх положень сили Рнапруга в центрі тяжкості перерізу (точка Про ABCD,описаного біля двутавра (Рис.6а). Отже, контур ядра для двотавра має форму ромба, як і для прямокутника, але з іншими розмірами.

Для швелера, як і для двотавра, точки 1, 2, 3, 4 контуру ядра (Рис.6 б) відповідають збігу нейтральної осі зі сторонами прямокутника ABCD.

Лекція №29.Спільні дії вигину та кручення призматичного стрижня

Досліджуємо цей вид деформації стрижня на прикладі розрахунку валу кругового (кільцевого) поперечного перерізу на спільну дію вигину та кручення (рис. 1).

Рис.1.Розрахункова схема вигнутого та скрученого валу

де ; ;

y F , z F– координати точки застосування сили F.

Для визначення небезпечних точок перерізу необхідно знайти положення нейтральної лінії (н.л.) як геометричного місця точок, в яких напруга дорівнює нулю.

.

Рівняння н. може бути записано як рівняння прямої у відрізках:

,

де і - Відрізки, що відсікаються н.л. на осях координат,

, - Головні радіуси інерції перерізу.

Нейтральна лінія розділяє поперечний переріз на зони з напругами, що розтягують і стискають. Епюра нормальних напруги представлена ​​на рис. 8.4.

Якщо перетин симетрично щодо основних осей, то умова міцності записується для пластичних матеріалів, у яких [ s c] = [s p] = [s], у вигляді

. (8.5)

Для крихких матеріалів, у яких [ s c]¹[ s p], умову міцності слід записувати окремо для небезпечної точки перерізу в розтягнутій зоні:

та для небезпечної точки перерізу в стиснутій зоні:

,

де z 1, y 1і z 2, y 2– координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок перерізу у розтягнутій 1 та стислій 2зонах перерізу (рис. 8.4).

Властивості нульової лінії

1. Нульова лінія ділить весь перетин на дві зони – розтягування та стискування.

2. Нульова лінія пряма, тому що координати х і у в першому ступені.

3. Нульова лінія не проходить через початок координат (рис. 8.4).

4. Якщо точка докладання сили лежить на головній центральній інерції перерізу, то відповідна їй нульова лінія перпендикулярна до цієї осі і проходить з іншого боку від початку координат (рис. 8.5).

5. Якщо точка докладання сили рухається променем, що виходить з початку координат, то відповідна йому нульова лінія рухається за ним (рис. 8.6):

Мал. 8.5 Мал. 8.6

а) при русі точки докладання сили по променю, що виходить із початку координат від нуля в нескінченність (y F ®∞, z F ®∞), ау ®0; а z ®0. Граничний стан цієї нагоди: нульова лінія пройде через початок координат (вигин);

б) при русі точки докладання сили (т. К) по променю, що виходить із початку координат від нескінченності до нуля (y F ® 0 і z F ® 0), ау ®∞; а z ®∞. Граничний стан цього випадку: нульова лінія видаляється в нескінченність, а тіло відчуватиме просте розтягування (стиснення).

6. Якщо точка докладання сили (т. К) рухається прямою, що перетинає координатні осі, то в цьому випадку нульова лінія буде обертатися навколо деякого центру, розташованого в протилежному від точки К квадранті.

8.2.3. Ядро перерізу

Деякі матеріали (бетон, цегляна кладка) можуть сприймати дуже незначні напруги, що розтягують, а інші (наприклад, грунт) не можуть зовсім чинити опір розтягуванню. Такі матеріали використовуються для виготовлення елементів конструкцій, в яких не виникають напруги, що розтягують, і не застосовуються для виготовлення елементів інструкцій, що зазнають вигину, кручення, центральне і позацентрове розтягування.

З зазначених матеріалів можна виготовляти тільки центрально стислі елементи, в яких напруги, що розтягують, не виникають, а також позацентрово стислі елементи, якщо в них не утворюються напруги, що розтягують. Це відбувається в тому випадку, коли точка застосування стискаючої сили розташована всередині або на межі деякої центральної області поперечного перерізу, званої ядром перерізу.

Ядром перерізубруса називається його деяка центральна область, що має тим властивістю, що сила, прикладена у будь-якій її точці, викликає у всіх точках поперечного перерізу бруса напруги одного знака, тобто. нульова лінія не проходить через переріз бруса.

Якщо точка застосування стискаючої сили розташована за межами ядра перерізу, то в поперечному перерізі виникають стискаючі та розтягувальні напруги. В цьому випадку нульова лінія перетинає поперечний переріз бруса.

Якщо сила прикладена межі ядра перерізу, то нульова лінія стосується контуру перерізу (у точці чи лінії); у місці торкання нормальні напруги дорівнюють нулю.

При розрахунку позацентрово стиснутих стрижнів, що виготовляються з матеріалу, що погано сприймає напругу, що розтягує, важливо знати форму і розміри ядра перерізу. Це дозволяє, не обчислюючи напруги, встановити, чи виникають у поперечному перерізі бруса напруги, що розтягують (рис. 8.7).

З визначення випливає, що ядро ​​перерізу є деяка область, яка знаходиться всередині перетину.

Для крихких матеріалів навантаження, що стискає, слід прикладати в ядрі перерізу, щоб виключити в перерізі зони розтягування (рис. 8.7).

Для побудови ядра перерізу необхідно послідовно поєднувати нульову лінію з контуром поперечного перерізу так, щоб нульова лінія не пересікала перетин, і одночасно розраховувати відповідну їй точку

програми стискаючої сили К з коор-

Мал. 8.7 динатами y Fі z Fза формулами:

; .

Отримані точки докладання сили з координатами y F , z Fнеобхідно з'єднати відрізками прямих. Область, обмежена отриманою ламаною лінією, і буде ядром перерізу.

Послідовність побудови ядра перерізу

1. Визначити положення центру тяжкості поперечного перерізу та головних центральних осей інерції у і z, а також значення квадратів радіусів інерції i y, i z.

2. Показати всі можливі положення н.л. щодо контуру перерізу.

3. До кожного положення н.л. визначити відрізки a yі a z, що відсікаються нею від головних центральних осей інерції у і z.

4. До кожного положення н.л. встановити координати центру тиску y F, і z F .

5. Отримані центри тиску з'єднати відрізками прямих, усередині яких буде розташоване ядро ​​перерізу.

Кручення із вигином

Вид навантаження, при якому брус піддається одночасно дії скручують і згинальних моментів, називається вигином з крученням.

Під час розрахунку скористаємося принципом незалежності дії сил. Визначимо напруги окремо при згинанні та крученні (рис. 8.8) .

При згинанні в поперечному перерізі виникають нормальні напруги, що досягають максимального значення в крайніх волокнах

.

При крученні в поперечному перерізі виникають дотичні напруги, що досягають найбільшого значення в точках перерізу біля поверхні валу

.

Нормальні та дотичні напруги одночасно досягають найбільшого значення в точках Зі Уперерізу валу (рис. 8.9). Розглянемо напружений стан у точці З(Рис. 8.10). Видно, що елементарний паралелепіпед, виділений навколо точки Ззнаходиться при плоскому напруженому стані.

Тому для перевірки міцності застосуємо одну з гіпотез міцності.

Умова міцності за третьою гіпотезою міцності (гіпотеза найбільшої дотичної напруги)

.

Враховуючи що , , отримаємо умову міцності валу

. (8.6)

Якщо вигин валу відбувається у двох площинах, то умова міцності буде

.

Використовуючи четверту (енергетичну) гіпотезу міцності

,

після підстановки sі tотримаємо

. (8.7)

Запитання для самоперевірки

1. Який вигин називається косим?

2. Поєднання яких видів вигину є косий вигин?

3. За якими формулами визначаються нормальні напруження у поперечних перерізах балки при косому вигині?

4. Як перебуває положення нейтральної осі при косому згині?

5. Як визначаються небезпечні точки у перерізі при косому вигині?

6. Як визначаються переміщення точок осі балки при косому згині?

7. Який вид складного опору називається позацентровим розтягуванням (чи стиском)?

8. За якими формулами визначаються нормальні напруження у поперечних перерізах стрижня при позацентровому розтягуванні та стисканні? Який вигляд має епюра цих напруг?

9. Як визначається положення нейтральної осі при позацентровому розтягуванні та стисканні? Напишіть відповідні формули.

10. Яка напруга виникає у поперечному перерізі бруса при вигині з крученням?

11. Як перебувають небезпечні перерізи бруса круглого перерізу при вигині з крученням?

12. Які точки круглого поперечного перерізу є небезпечними при згинанні з крученням?

13. Який напружений стан виникає у цих точках?

приклад.

Для заданої схеми навантаження стрижня (рис.52) побудувати епюри поперечної сили Q y (z) і згинального моменту M x (z) за наступних вихідних даних: L = 5 кНм, P = 10 кН, q = 20 кН/м, l = 1 м.

Запишемо рівняння поперечних сил та згинального моменту:

Q y (z) = Q y (0) │ 1 – P - q×(z - l) │ 2

M x (z) = M x (0) + Q y (0)×z│ 1 - P×(z - l) - q×(z - l) 2 /2│ 2

Відповідно до умов закріплення стрижня запишемо граничні умови в наступному вигляді: M x (0) = - L,

Для знаходження невідомої реакції Q y (0) необхідно прирівняти рівняння згинального моменту до нуля при координаті z = 3l:

M x (3 l) = M x (0) + Q y (0) x 3l - P x (3 l - l) - q x (3 l - l) 2 / 2 = 0.

Вирішуючи це рівняння щодо Q y (0), отримаємо Q y (0) = 21.67кН.

Тепер, враховуючи знайдені константи, рівняння інтегральних характеристик можна переписати у такому вигляді:

Q y (z) = 21.67│ 1 – P – q×(z - l) │ 2

M x (z) = -L + 21.67z│ 1 – P×(z - l) – q×(z - l) 2 /2│ 2

Побудова графіків вироблятимемо аналогічно прикладу 1.

1 ділянка 0 ≤ z ≤ l:

Q y (0) = 21.67 кН,

Q y (l) = 21.67 кН,

M x (0) = -5 кНм,

M x (l) = -5 + 21.67 * 1 = 16.67 кНм.

2 ділянка l ≤ z ≤ 3l:

Q y (l) = 21.67 - 10 = 11.67 кН,

Q y (3l) = 21.67 - 10 - 20 * (3 - 1) = -28.33 кН,

M x (l) = -5 + 21.67 * 1 - 10 (1 - 1) - 20 (1 - 1) = 16.67 кНм,

M x (3l) = -5 + 21.67 * 3 - 10 (3 - 1) - 20 (3 - 1) = 0 кНм.

Визначимо координати екстремуму та значення функції згинального моменту в екстремальній точці:

Q y (z1) = 21.67 - P - q (z1 - l) = 0 → z1 = 1.58 м.

M x (1.58) = -L + 21.67 · 1.58 - P (1.58 - l) - q (1.58 - l) 2 / 2 = 20.07 кНм.

За розрахованими значеннями будуються графіки поперечної сили та згинального моменту (рис. 52).

При позацентровому розтягуванні рівнодіюча зовнішніх сил не збігається з віссю стрижня, як при звичайному розтягуванні, а зміщена щодо осі z і залишається паралельною їй (рис.53).

Нехай точка А додатка рівнодіючої зовнішніх сил має в перерізі координати (х 0, 0). Тоді щодо головних осей рівнодіюча сила Р дає моменти:

М х = Р×у 0

М у = - Р х 0 .

Таким чином, позацентрове розтягування-стиск виявляється спорідненим з косим вигином. На відміну від останнього, однак, при позацентровому розтягуванні в поперечному перерізі стрижня виникають не тільки згинальні моменти, а й нормальна сила:

У довільній точці з координатами (х, у) нормальна напруга визначається наступним виразом:

Просторова епюра напруги утворює площину. Рівняння нейтральної лінії отримуємо, прирівнюючи напругу нулю:

При позацентровому розтягуванні-стисканні на відміну косого вигину нейтральна лінія не проходить через центр тяжкості перерізу. При позитивних х 0 і 0 принаймні одна з величин х або у, що входять до рівняння (100), повинна бути негативною. Отже, якщо точка докладання сили Р знаходиться у першому квадранті, то нейтральна лінія проходить з протилежного боку центру тяжіння через квадранти 2,3 та 4 (рис.54).

Відстань від початку координат до деякої прямої

як відомо з курсу аналітичної геометрії,

Отже, у міру того, як точка докладання сили наближається до центру тяжкості перерізу, нейтральна лінія віддаляється від нього.

У межі при х 0 = 0 = 0, коли сила Р прикладена в центрі тяжкості, нейтральна лінія знаходиться в нескінченності. Напруги у разі розподілені по перерізу рівномірно.

Зі сказаного випливає, що при позацентровому розтягуванні та стисканні нейтральна лінія може перетинати перетин, так і знаходиться за його межами. У першому випадку в перерізі виникають і напруги, що розтягують і стискають. У другому випадку напруги у всіх точках перерізу будуть одного знака.

На околицях центру тяжіння існує область, звана ядром перерізу. Якщо слід сили Р перебуває усередині ядра перерізу, напруги переважають у всіх точках перерізу будуть одного знака. Якщо сила прикладена за межами ядра перерізу, нейтральна лінія перетинає перетин, і напруги в перерізі будуть як стискають, так і розтягують. Коли точка застосування сили знаходиться на межі ядра, нейтральна лінія стосується контуру перерізу. Щоб визначити ядро ​​перерізу, треба уявити, що нейтральна лінія обкатується навколо перерізу. Точка застосування сили викреслить при цьому контури ядра.

Основні поняття та визначення…………………………………………………

Фізична та математична модель…………………………………………….

Геометричні характеристики перерізу…………………………………………

Зміна геометричних характеристик при паралельному перенесенні координатних осей………………………………………………………………….

Зміна геометричних характеристик при повороті координатних осей.

Геометричні характеристики складних перерізів………………………………

Метод перерізів. Внутрішні сили…………………………………………………

напруга. Напружений стан у точці тіла………………………………

Інтегральні характеристики напруги у точці……………………………..

Нормальні напруги в площині поперечного перерізу……………………

Закон парності дотичних напруг………………………………………...

Напруги на похилих майданчиках……………………………………………

Основні майданчики і основні напряжения……………………………………….

Екстремальні характеристики основних напруг. Кругова діаграма Мора….

Випробування матеріалів на розтяг. Діаграма розтягування………………..

Математична модель механіки твердо деформованого тіла………………

Деформований стан тіла…………………………………………………

Дотичні напруження при крученні………………………………………….

Дотичні напруження при згинанні. Формула Журавського……………………

Теорії (гіпотези) міцності………………………………………………………

Розтягування (стиснення) стрижнів……………………………………………………..

Кручення стрижнів………………………………………………………………….

Вигин стрижнів………………………………………………………………………

Позацентренне розтягування і стиск………………………………………………

ЛІТЕРАТУРА

1. Феодосьєв В.І. Опір матеріалів: Навч. для вузів. - М.: Наука., 1998. - 512 с.

2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державін Б.П. Опір матеріалів: Навч. для вузів. - М.: Вищ.шк., 1995. - 560 с.

3. Писаренко Г.С., Яковлєв А.П., Матвєєв В.В. Довідник з опору матеріалів. - Київ.: Наукова думка, 1988. - 736 с.

4. Розрахунок прямих стрижнів на міцність. Метод.вказівки. С.А.Дев'ятов, З.Н.Соколовський, Е.П.Степанова.2001.76с.