Teorija vjerojatnosti u životu. Webinar "Tamo gdje teorija vjerojatnosti primjenjuje vjerovatnost

Definicija. Teorija vjerojatnosti je naučna proučavanja usavršavanja u nasumičnim pojavama.

Definicija. Nasumični fenomen je fenomen da se ponovljeni test događa svaki put različito.

Definicija. Iskustvo - čovjek ili proces, testiranje.

Definicija. Događaj - rezultat iskustva.

Definicija.Predmet teorije vjerojatnosti je nasumične pojave i specifični obrasci masovnih slučajnih pojava.

Klasifikacije događaja:

1. Događaj se zove pouzdan Ako kao rezultat iskustva definitivno će se dogoditi.

Primjer. Posuda u školi će se definitivno završiti.

1. Događaj se zove nemoguć Ako se u zadanim uvjetima nikada neće dogoditi.

Primjer. Ako u lancu nema električne struje, lampica neće upaliti.

1. Događaj se zove nasumičan ili nemoguć Ako kao rezultat iskustva može doći do toga ili se ne dogodi.

Primjer.Događaj - prenesite ispit.

1. Događaj se zove jednak mogući Ako su uslovi za izgled istog i nema razloga da se kaže kao rezultat iskustva, jedan od njih ima šansu da se pojavi više od drugog.

Primjer. Gubitak grba ili zrela prilikom bacanja kovanica.

1. Događaji se nazivaju zglob Ako izgled jednog od njih ne isključuje mogućnosti izgleda drugog.

Primjer. Prilikom snimanja, gospođice i leta - događaji saradnje.

1. Događaj se zove neuobičajen Ako izgled jednog od njih eliminira mogućnost izgleda drugog.

Primjer. Sa jednim pucanjem, udaranjem i gospođicom - događaji nisu zglobni.

1. Pozvani su dva nepotpuna događaja nasuprot Ako se, kao rezultat iskustva, dogodit će jedan od njih.

Primjer.Prilikom polaganja ispita događaji su "položili ispit" i "nisu prošli ispit", nazivaju se suprotno.

Oznaka: - Normalni događaj, - suprotan događaj.

1. Nekoliko obrasca događaja kompletna grupa nepotpunih događaja Ako samo jedan od njih dođe kao rezultat iskustva.

Primjer. Prilikom polaganja ispita moguće je: "Nisam prenio ispit", "prešao na" 3 "", prešao sam na "4", "kompletnu grupu nepotpunih događaja.

Pravila iznosa i rada.

Definicija. Zbroj dva djela sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. Nazovite događaj c. koji se sastoji u događajima sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: ili događaji b. Ili oba istovremeno.

Iznos događaja se zove kombiniranje događaja (Pojava barem jednog od događaja).

Ako je problem očito u zadatku, što bi se trebalo pojaviti sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: Ili b. , kažu da pronađu iznos.

Definicija. Radni događaji sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. Nazovite događaj c. koji se sastoji u istodobnom izgledu događaja sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i b. .

Proizvod se naziva raskrižje dva događaja.

Ako zadatak kaže da nađu sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: I b. Zato pronađite posao.

Primjer. Sa dva snimaka:

1. ako trebate pronaći barem jednom, a zatim pronađite iznos.
2. ako trebate dva puta pronaći pogodak, tada se nalazi posao.

Verovatnoća. Vjerovatnost imovine.

Definicija. Učestalost nekog događaja naziva se broj jednak omjeru broja eksperimenata u kojima se događaj pojavio na broju svih eksperimenata.

Oznaka: r () - frekvencija događaja.

Primjer. Bacanje novčića 15 puta, a istovremeno će grb pasti 10 puta, a zatim frekvencija grba: r () \u003d.

Definicija. Beskonačno veliki broj eksperimenata, frekvencija događaja postaje jednaka vjerojatnosti događaja.

Definicija klasične verovatnoće. Vjerojatnost događaja naziva se omjer broja slučajeva pogodan nastanka ovog događaja među svim je jedinim mogućim i ravnotežnim slučajevima.

Oznaka: Gdje je p vjerojatnost

m je broj slučajeva pogodnog događaja.

n je ukupan broj samo mogućih i ravnotežnih slučajeva.

Primer. U takmičenjima u bijegu sudjeluju 60 učenika Chiepa. Svaka ima broj. Pronađite vjerojatnost da studentski broj pobjeđuje u utrci ne sadrži slike 5.

Svojstva vjerojatnosti:

1. vrijednost vjerojatnosti nije negativna i zaključuje se između vrijednosti 0 i 1.
2. vjerovatnoća je 0, a zatim i samo ako je vjerojatnost nemogućeg događaja.
3. verovatnoća je 1, a zatim i samo ako je to verovatnoća pouzdanog događaja.
4. vjerojatnost istog događaja neizmjerno je, ne ovisi o broju eksperimenata i promjena samo kada su uslovi za provedbu promjena iskustva.

Određivanje geometrijske vjerojatnosti. Geometrijska vjerojatnost naziva se odnosom dijela regije, pogodak u kojem odabrana tačka mora biti pronađena u cijelom području, hit u kojem je u ovom trenutku jednak mogućoj mogućoj mjeri.

Regija može biti mjera dužine dužine ili jačine.

Primjer. Pronađite vjerojatnost udaranja nekih ukazivanja na parcelu dugačak 10 km, ako je potrebno, tako da se približi kraju segmenta, a ne dalje od 1 km od svih.

Komentar.

Ako mjere područja S i S imaju različite jedinice mjerenja pod uvjetom problema, a zatim riješiti S i S kako bi dali jednu dimenziju.

Spoj. Elementi kombinatorike.

Definicija. Kombiniranje elemenata raznih grupa, karakterizirani redoslijedom elemenata ili barem jednim elementom pod nazivom Spojevi.

Priključci su:

Smještaj

Kombinacija

Preuređen

Definicija. Mjesta iz N - elemenata po m Time-u nazivaju se spojem koji se razlikuje od jedni od drugih, barem jedan element i redoslijed elemenata.

Definicija.U kombinaciji od N elemenata po M naziva se slojem koji se sastoji od istih elemenata koji se razlikuju u najmanje jednom elementu.

Definicija. Permutacije n elemenata nazivaju se spojevi koji se sastoje od istih elemenata koji se međusobno razlikuju samo po nalogu elemenata.

Primjer.

1) Na koliko načina možete stvoriti autokolon iz 5 automobila.

2) Koliko se načina može propisati u klasi 3 dužnosti, ako je cijela osoba u klasi 25.

Budući da redoslijed elemenata nije važan, a skupine spojeva odlikuju broj elemenata, a zatim izračunati broj kombinacija od 25 elemenata od 3.

načini.

3) Koliko metoda iz brojeva 1,2,3,4,5,6 može biti četvorocifren broj. Stoga, jer Spojevi se odlikuju redoslijedom lokacije i barem jedan element, a zatim izračunajte plasman 6 elemenata od 4.

Primjer upotrebe kombinatorskih elemenata za izračunavanje vjerojatnosti.

U dijelu N proizvoda - M - neispravan. Nasumično odaberite L-proizvode. Pronađite vjerojatnost da će biti tačno k - brakovi među njima.

Primjer.

10 Hladnjaka njih dovedene su u trgovinu u skladište 4- 3xCarmers, ostalo su 2xCam.

Pronađite šansu da među odabranim proizvoljnim putem postoji 5 brda - 3 će biti 3xCam.

Glavne teoremi teorije vjerojatnosti.

Theorem 1.

Verovatnoća iznosa 2 nedosljedna događaja jednaka je zbroju verovatnoća ovih događaja.

Korolija.

1) Ako događaj formira kompletnu grupu nepotpunih događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1.

2) Zbroj verovatnoće 2 suprotnih događaja je 1.

Theorem 2.

Verovatnoća rada od 2 nezavisna događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerojatnosti.

Definicija. Događaj A se zove neovisan o događaju u slučaju da se pojavi vjerovatnoća događaja i ne ovisi da li će doći do događaja u ili ne.

Definicija. 2 događanja se nazivaju neovisnim ako vjerovatno o pojavi jednog od njih ovisi o izgledu ili ne izgledu drugog.

Definicija.Vjerojatnost događaja u izračunatom objektu koji se događaj dogodio naziva se uslovna vjerovatnost.

Theorem 3.

Verovatnoća rada 2x nezavisnih događaja jednaka je verovatnoći pojave jednog događaja na uslovnom verovatnoću druge uprkos činjenici da se prvi događaj dogodio.

Primjer.

Biblioteka ima 12 udžbenika u matematici. Od toga, 2 udžbenika o elementarnom matematiku, 5 - o teoriji vjerojatnosti, ostalo - na višoj matematici. Odabir proizvoljnog načina 2 udžbenika. Pronađite vjerojatnost da su oni obje elementarne matematike pop.

Teorem 4. Verovatnoća o događaju najmanje 1 put.

Verovatnoća barem jednog od događaja koji čine kompletnu grupu nepotpunih događaja jednaka je razlikovanju između prvog i proizvoda vjerojatnosti suprotnih podataka.

Neka tada

Korolija.

Ako je vjerojatnost svakog događaja isti i jednak p, tada će se vjerojatnost pojaviti barem jedan od tih događaja, jednak

N - Broj proizvedenih eksperimenata.

Primjer.

Proizvesti 3 ciljane snimke. Verovatnoća ulaska na prvi snimak 0,7, u drugom - 0.8, na trećem - 0,9. Pronađite šansu da će sa tri neovisna snimka u cilju biti:

A) 0 hitova;

B) 1 hit;

C) 2 hit;

D) 3 hit;

E) barem jedan pogodak.

Theorem 5. Formula puna verovatnoća.

Neka se događaj može pojaviti zajedno s jednim od hipoteza, tada vjerojatnost da se događaj a dogodio je formula:

i. Dajemo zajednički nazivnik.

Tako Osvoji jednu seriju od 2 na ekvivalentnom protivniku češće će osvojiti 2 strana od 4.

Pošaljite svoj dobar rad u bazi znanja je jednostavan. Koristite obrazac u nastavku

Studenti, diplomirani studenti, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u studiranju i radu bit će vam vrlo zahvalni.

Slični dokumenti

Pojava i razvoj teorije vjerojatnosti i njegovih primjena. Rješavanje klasičnih paradoksa u kostiju i "kockanje". Paradoks zakona velikog broja Bernoulli i Berrana, rođendan i distribucija poklona. Studija paradoksa iz knjige Sech.

pregled, dodano 29.05.2016


Suština i predmet teorije vjerojatnosti koji odražavaju obrasce svojstvene nasumično masivnim pojavama. Proučavanje obrazaca masovnih homogenih slučajnih pojava. Opis najpopularnijih u teoriji vjerojatnosti eksperimenata.

prezentacija, dodana 17.08.2015


Suština koncepta "kombinatorike". Istorijsko sertifikat iz povijesti razvoja nauke. Pravilo iznosa i radova, plasmana i permutacije. Opći prikaz formule za izračunavanje broja kombinacija s ponavljanjima. Primjer rješavanja problema na teoriji vjerojatnosti.

ispitivanje, dodano 30.01.2014


Teorija vjerojatnosti kao matematičke nauke koje proučavaju obrasce u masovnim homogenim slučajevima, pojavama i procesima, subjektima, osnovnim pojmovima i elementarnim događajima. Određivanje verovatnoće događaja. Analiza glavnih teorema teorije vjerojatnosti.

prevara, dodano 24.12.2010


Pojava teorije verovatnoće kao nauke, doprinos stranih naučnika i matematičke škole Svetog Peterburga u njegovom razvoju. Koncept statističke vjerojatnosti događaja, izračunavanje najprikladnijeg broja događaja. Suština lokalne laplace teoreme.

prezentacija, dodana 19.07.2015


Principi rješavanja problema na glavnim odjeljcima teorije vjerojatnosti: slučajni događaji i njihova prihvatljivost, nehotične vrijednosti, distribucije i numeričke karakteristike hladnjaka, glavne granice teorema za sume neovisnih vjerojatnih količina.

ispitivanje, dodano 03.12.2010


Prednost upotrebe Bernoulli formule, njegovog mjesta u teoriji vjerojatnosti i primjene u neovisnim testovima. Povijesni esej života i aktivnosti švicarskog matematike Jacoba Bernoullija, njegova dostignuća u području diferencijalnog kalkulusa.

prezentacija, dodana 11.12.2012


Istraživanje J. Kartano i N. Tartalia u području odluke primarnih zadataka teorije vjerojatnosti. Doprinos Pascala i farme u razvoju teorije vjerojatnosti. Rad H. Guygens. Prve studije o demografiji. Formiranje koncepta geometrijske vjerojatnosti.

kursni rad, dodana 24.11.2010

"Nesreća nije slučajna" ... Zvuči kao da je filozof rekao, ali u stvarnosti da prouči slučajnost velike nauke matematike. U matematici je angažovana šansa za teoriju verovatnoće. Formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove nauke bit će predstavljeni u članku.

Kakva je teorija verovanja?

Teorija vjerojatnosti je jedna od matematičkih disciplina koja studira slučajne događaje.

Da bismo bili malo jasniji, dajemo mali primjer: Ako izbacite novčić, može pasti "orao" ili "širok". Dok je novčić u zraku, moguća su obje verovatnoće. Odnosno, vjerovatnoća mogućih posljedica korelate 1: 1. Ako izvučete jednu od palube sa 36 kartica, tada će se vjerojatnost biti naznačena kao 1:36. Čini se da ne postoji ništa za istraživanje i predviđanje, posebno uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako više puta ponavljate određenu akciju, moguće je identificirati neku pravilnost i zasnovana je na tome da predviđa ishod događaja u drugim uvjetima.

Ako generaliziramo sve gore navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom razumijevanju istražuje mogućnost jednog od mogućih događaja u numeričkoj vrijednosti.

Sa stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formula i primjera prvih zadataka pojavila se na udaljenosti srednjeg vijeka, kada su se pokušali prvi put predvidjeti ishod igara za karticu.

U početku se teorija vjerojatnosti nije imala ništa zajedničko sa matematikom. Opravdano je s empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji bi se mogli reproducirati u praksi. Prvi rad na ovom području kao u matematičkoj disciplini pojavio se u XVII vijeku. Farma Pascala i Pierre bili su četkica od bleja. Dugo su proučavali kockanje i vidjeli određene obrasce koje su odlučili reći društvu.

Istu tehniku \u200b\u200bizmislili su Huygens Christians, iako nije bio upoznat sa rezultatima studija Pascala i farme. Koncept "teorije vjerojatnosti", formula i primjera, koji se smatraju prvim u povijesti discipline, uvode ih.

Jacob Bernoulli, Laplas i Poisson Teoremi imaju važan značaj. Oni su teoriju verovatnoće učinili više kao matematička disciplina. Njegov trenutni prikaz teorije vjerojatnosti, formula i primjera osnovnih zadataka dobivena je zahvaljujući aksiomima Kolmogorova. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedan od matematičkih presjeka.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Događanja

Glavni koncept ove discipline je događaj. Događaji su tri vrste:

• Pouzdan. Oni koji će se pojaviti u svakom slučaju (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi s bilo kojom vrstom (novčić će ostati vješanje u zraku).
• Slučajno. Oni koji će se dogoditi ili se neće dogoditi. Oni mogu utjecati na različite faktore koji su vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčići, tada slučajni faktori koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, oblik, početni položaj, silu bacanja itd.

Svi događaji u primjerima označeni su kapitalnim latino pismama, s izuzetkom P, koji je dodijeljen još jednu ulogu. Na primjer:

• A \u003d "Studenti su došli na predavanje."
• Ā \u003d "Studenti nisu otišli na predavanje."

U praktičnim zadacima događaji su prihvaćeni za snimanje riječi.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova ravnoteža. To jest, ako bacite novčić, sve mogućnosti za početni pad su moguće dok ne padne. Ali i događaji nisu jednaki. To se događa kada neko posebno utječe na ishod. Na primjer, "označene" igranja ili sviranje kosti u kojima se pomaknu centar gravitacije.

Čak su i događaji kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju jedni druge. Na primjer:

• A \u003d "Student je došao na predavanje."
• B \u003d "Student je došao na predavanje."

Ovi su događaji neovisni jedni od drugih, a pojava jednog od njih ne utiče na pojavu drugog. Nekompatibilni događaji određuju se činjenicom da izgled jednog eliminira izgled drugog. Ako govorimo o istim novčićima, tada gubitak "jela" onemogućava pojaviti "orao" u istom eksperimentu.

Radnje na događajima

Događaji se mogu pomnožiti i preklopiti, logički ligamenti "i" i "ili" ili "uvode se u disciplini.

Iznos se određuje činjenicom da se događaj a, ili b, ili dva istovremeno pojavljuje. U slučaju kada su nekompatibilne, zadnja opcija je nemoguća, raspada ili A ili V.

Množenje događaja je izgled a istovremeno u isto vrijeme.

Sada možete dati nekoliko primjera kako biste bolje sjećali osnova, teoriju vjerojatnosti i formula. Primjeri sljedećih rješenja za zadatke.

Vježba 1: Kompanija sudjeluje u konkursu za ugovore za tri sorte rada. Mogući događaji koji mogu pojaviti:

• A \u003d "Kompanija će primiti prvi ugovor."
• I 1 \u003d "Firma neće primiti prvi ugovor."
• B \u003d "Firma će dobiti drugi ugovor."
• U 1 \u003d "Firma neće primiti drugi ugovor"
• C \u003d "Firma će dobiti treći ugovor."
• Od 1 \u003d "Kompanija neće primiti treći ugovor."

Koristeći akciju na događajima, pokušajmo izraziti sljedeće situacije:

• K \u003d "Firma će dobiti sve ugovore."

U matematičkom obliku jednadžba će imati sljedeći obrazac: K \u003d ABC.

• M \u003d "Kompanija neće primiti niti jedan ugovor."

M \u003d 1 u 1 s 1.

Popunite zadatak: H \u003d "Kompanija će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna tačno kakav će se ugovor primiti kompaniju (prvo, drugo ili treće), potrebno je snimiti čitav niz mogućih događaja:

N \u003d a 1 ned 1 υ av 1 c 1 υ a 1 u 1 C.

I 1 ned 1 je niz događaja u kojima kompanija ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugu. Ostali mogući događaji evidentiraju odgovarajuća metoda. Simbol υ u disciplini ukazuje na paket "ili". Ako prevedemo dani primjer na ljudski jezik, firma će dobiti ili treći ugovor ili drugi ili prvi. Slično tome, drugi uvjeti mogu se zabilježiti u disciplini "Teorija vjerojatnosti". Formule i primjeri rješavanja gore predstavljenih zadataka pomoći će da budete sami.

Zapravo, verovatnoća

Možda, u ovoj matematičkoj disciplini, vjerovatnoća da je događaj središnji koncept. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasičan;
• statistički;
• geometrijski.

Svaka ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formula i primjera (razred 9) uglavnom koristi klasičnu definiciju koja zvuči ovako:

• Verovatnoća da je situacija jednaka omjeru broja ishoda, što favorizuje njen izgled, na broj mogućih rezultata.

Formula izgleda ovako: p (a) \u003d m / n.

A - Zapravo, događaj. Ako se slučaj pojavi nasuprot, može se pisati kao ā ili 1.

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu pojaviti.

Na primjer, a \u003d "Povucite karticu crv odijela." U standardnoj palubi sa 36 karte, 9 od njih crva. U skladu s tim, formula za rješavanje zadatka bit će:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da će se kartica crpnog odijela biti izvučena iz palube, bit će 0,25.

Na veću matematiku

Sada je postalo malo poznato Koja su teorija vjerojatnosti, formula i primjera rješavanja zadataka koji nalaze u školskom programu. Međutim, teorija vjerojatnosti sastaje se u višoj matematici, koja se podučava na univerzitetima. Najčešće upravljaju geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenih formula.

Vrlo zanimljiva teorija vjerojatnosti. Formule i primjeri (viša matematika) Bolje je početi studirati iz male - iz statističke (ili frekvencije) vjerojatnosti.

Statistički pristup ne suprotstavlja se klasičnoj, a malo ga proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno utvrditi koja se veća vjerovatnoća događa, tada je u ovoj metodi potrebno navesti koliko će se često pojaviti. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti w n (a). Formula se ne razlikuje od klasičnog:

Ako se klasična formula izračunava za predviđanje, zatim statistički - prema rezultatima eksperimenta. Uzmi, na primjer, mali zadatak.

Odjel za tehnološku kontrolu provjerava proizvode za kvalitetu. Među 100 proizvoda pronađeno je 3 niskokvalitetna. Kako pronaći verovatnoću učestalosti kvalitetnog proizvoda?

A \u003d "izgled visokokvalitetne robe."

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 proizvoda koji su provjereni, pokazalo se da su loši kvalitet. Od 100 okretaja 3 dobit ćemo 97, ovo je količina kvalitetnog proizvoda.

Malo o kombinatoricima

Druga metoda vjerojatnosti naziva se kombinatoricima. Njegov glavni princip je da ako se određeni izbor A može provesti na različite načine, a izbor B je n na različite načine, tada se izbor A i B može provesti množenjem.

Na primjer, iz grada i u gradu u vodi 5 puteva. Od grada do grada sa 4 načina. Na koliko se načina može doći iz grada i grada?

Sve je jednostavno: 5x4 \u003d 20, odnosno dvadeset na različite načine može se doći iz točke A do tačke S.

Komplikovati zadatak. Koliko načina za položivanje karata u pasijansu? Na palubi od 36 karte - ovo je polazište. Da biste saznali broj načina, trebate iz početne točke da biste "oduzme" na istoj mapi i pomnožite.

To je, 36x35x34x33x32 ... X2x1 \u003d Rezultat neće montirati ekran kalkulatora, tako da se može jednostavno označiti 36!. Znak "!" Blizu broja ukazuje da se čitav broj brojeva varira međusobno.

Kombinatorici predstavljaju takve koncepte kao permutaciju, smještaj i kombinaciju. Svaki od njih ima svoju formulu.

Naređeni skup skupova setova naziva se plasman. Položaj može biti s ponavljanjima, odnosno jedan element se može koristiti nekoliko puta. I bez ponavljanja, kada se predmeti ne ponavljaju. N svi su elementi, m su elementi koji su uključeni u smještaj. Formula za plasman bez ponavljanja bit će:

A n m \u003d n! / (N-m)!

Spojevi iz n elemenata koji se razlikuju samo po redoslijedu smještaja nazivaju se permutacija. U matematici ima oblik: p n \u003d n!

Kombinacije od n elemenata na M nazivaju se takvim spojevima u kojima je važno koji su elementi bili i koji su njihov ukupni. Formula će pogledati:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernoulli formula

U teoriji vjerojatnosti, kao i u svakoj disciplini, postoje radovi u svom području istraživača koji su ga donijeli na novi nivo. Jedan od tih radova je Bernoulli formula, što omogućava utvrđivanje vjerojatnosti određenog događaja pod neovisnim uvjetima. To sugeriše da pojava a u eksperimentu ne ovisi o nastanku ili ne pojavljujući isti događaj u prethodno sprovedenim ili naknadnim testovima.

Bernoulli jednadžba:

P n (m) \u003d c n m × p m × q n-m.

Vjerovatnoća (p) pojave događaja (a) nepromijenjena je za svaki test. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi tačno m puta u n količinama eksperimenata izračunavat će se formulom koja je prikazana gore. U skladu s tim, postavlja se pitanje o tome kako saznati broj Q.

Ako se događaj a dogodi broj puta, respektivno, možda neće doći. Jedinica je broj koji treba označiti svim ishodima situacije u disciplini. Stoga je q broj koji znači mogućnost nesmetanih događaja.

Sada znate Bernoulli formulu (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja zadataka (prvi nivo) razmatraju dalje.

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine izvršit će kupovinu sa 0,2 vjerojatnosti. 6 posjetilaca posjetile su trgovinu. Kakva je vjerojatnost da će posjetitelj napraviti kupovinu?

Rješenje: Budući da nije poznato koliko posjetitelja treba izvršiti kupovinu, jednu ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću Bernoulli formule.

A \u003d "Posjetitelj će obaviti kupovinu."

U ovom slučaju: P \u003d 0,2 (kao što je naznačeno u zadatku). Prema tome, Q \u003d 1-0.2 \u003d 0.8.

n \u003d 6 (budući da trgovina ima 6 posjetilaca). Broj m promijenit će se iz 0 (nijedan kupac ne izvrši kupovinu) na 6 (svi posjetitelji za pohranu nečega bit će kupljeni). Kao rezultat toga, dobivamo rješenje:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Nijedan od kupaca ne kupuje neku verovatnoću od 0,2621.

Kako je inače Bernoulli formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (drugi nivo) sljedeći.

Nakon gornjeg primjera, postavljaju se pitanja gdje dijeliti i r. U odnosu na P broj do stepena 0 bit će jednak jednoj. Što se tiče C, može se naći u formuli:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Od prvog primjera m \u003d 0, respektivno C \u003d 1, koji u principu ne utječe na rezultat. Pomoću nove formule, pokušajmo saznati koja je vjerovatnoća kupovine robe od strane dva posjetitelja.

P 6 (2) \u003d C 6 2 × P 2 × q 4 \u003d (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 × 0,4096 \u003d 0,246.

Nije toliko složeno teorija verovatnoće. Bernoulli formula, od kojih su primjeri predstavljeni gore, što je direktan dokaz.

Formula Poisson

Poisson jednadžba koristi se za izračunavanje malo vjerovatnih slučajnih situacija.

Osnovna formula:

P n (m) \u003d λ m / m! × E (-λ).

U ovom slučaju, λ \u003d n x str. Ovo je tako jednostavna poissonska formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja zadataka više razlikuju.

Zadatak 3.: U tvornici su napravili dijelove u iznosu od 100.000 komada. Izgled neispravnog dijela \u003d 0,0001. Koja je verovatnoća da će 5 neispravnih delova biti na zabavi?

Kao što vidite, brak je malo vjerovatni događaj i u vezi s kojom se koristi poisson formula (teorija vjerojatnosti) za izračunavanje. Primjeri rješavanja problema takve vrste nisu različiti od ostalih zadataka discipline, u smanjenoj formuli zamjenjujemo potrebne podatke:

A \u003d "Nasumično odabrani predmet bit će neispravan."

p \u003d 0,0001 (prema dodjeli za zadatak).

n \u003d 100000 (broj dijelova).

m \u003d 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formuli i dobili su:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Kao i Bernoulli formula (teorija verovatnoće), primjeri rješenja kojim se uz pomoć napisane napisane, Poissonska jednadžba ima nepoznato e. U stvari, može se naći u formuli:

e -λ \u003d lim n -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Međutim, postoje posebne tablice u kojima postoje gotovo sve vrijednosti.

Moaforwrow laplace teorem

Ako je broj testova u Bernoulliju u shemi Bernoulli, a vjerojatnost događaja i u svim shemama je isti, tada se vjerovatno može pronaći vjerojatnost događaja i određeni broj puta u nizu testova:

P n (m) \u003d 1 / √npq x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Da biste bolje zapamtili formulu Laplasa (teorija vjerojatnosti), primjeri zadataka koji će pomoći u nastavku.

Prvo pronalazimo x m, zamjenjujemo podatke (svi su gore navedeni) u formuli i dobiju 0,025. Uz pomoć tablica nalazimo broj φ (0,025), čija vrijednost iznosi 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formuli:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Dakle, verovatnoća da će reklamni letak raditi tačno 267 puta, je 0,03.

Formule Bayes.

Formula Bayes (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja zadataka koji će biti prikazani u nastavku, jednačina je koja opisuje vjerojatnost nekog događaja, na osnovu okolnosti koje bi mogle biti povezane s tim. Glavna formula ima sljedeći obrazac:

P (a | b) \u003d p (u | a) x p (a) / p (c).

A i b su određeni događaji.

P (A | b) - uvjetna verovatnoća, odnosno događaj može doći do, pod uslovom da je događaj istinit.

P (u | a) - uvjetna vjerojatnost događaja V.

Dakle, završni dio malog kursa "Teorija vjerojatnosti" je bayes formula, primjeri rješenja zadataka sa kojima u nastavku.

Zadatak 5.: Skladište je donijelo telefone iz tri kompanije. Istovremeno, dio telefona koji su proizvedeni u prvom pogonu iznosi 25%, u drugom - 60%, na trećem - 15%. Takođe je poznato da je prosječni procenat neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugom - 4%, a u trećem - 1%. Potrebno je pronaći vjerodostojnost da će nasumično odabrani telefon biti neispravan.

A \u003d "nasumično uzet telefon."

U 1. telefonu koji je napravio prvu fabriku. U skladu s tim, pojavit će se uvodni u 2 i 3 (za drugu i treće tvornice).

Kao rezultat toga, dobivamo:

P (u 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (u 2) \u003d 0,6; P (u 3) \u003d 0,15 - pa smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada morate pronaći uvjetnu vjerojatnost željenog događaja, odnosno vjerojatnosti neispravnih proizvoda u firmama:

P (a / u 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (a / u 2) \u003d 0,04;

P (A / u 3) \u003d 0,01.

Sada ćemo zamijeniti podatke u Formuli Bayes i dobiti:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formula i primjera rješavanja problema, ali to je samo Vertex of Ledeberg opsežna disciplina. I nakon svih pisanih, bit će logično pitati da li je u životu potrebna teorija vjerojatnosti. Teško je odgovoriti na jednostavnu osobu da odgovori, bolje je pitati o tome ko je, uz njenu pomoć, nije razbio znoj.

2.1. Odabir matematičkog aparata teorije pouzdanosti

Određivanje pouzdanosti je očito ne dovoljno nije dovoljno, jer je samo kvalitativni karakter i ne omogućava rješavanje različitih inženjerskih zadataka u procesu dizajniranja, proizvodnje, ispitivanja i rada zrakoplovne opreme. Posebno ne dopušta rješavanje tako važnih zadataka, kao što su:

Procijenite pouzdanost (pouzdanost, smanjenje, očuvanje, spremnost i izdržljivost) postojećih i stvorenih novih dizajna;

Uporedite pouzdanost diferencijalnih elemenata i sistema;

Procijenite efikasnost vraćanja neispravnih zrakoplova;

Opravdajte planove popravka i sastav rezervnih dijelova potrebnih za osiguranje planova rada leta;

Odredite jačinu, frekvenciju, troškove izvođenja priprema za let, regulatorni rad i cijeli kompleks za održavanje;

Odredite troškove vremena, stl i sredstva potrebna za vraćanje neispravnih tehničkih uređaja.

Poteškoće određivanja kvantitativnih karakteristika pouzdanosti proizlazi iz prirode kvarova, od kojih je svaki rezultat slučajne brojnih štetnih faktora, kao što su, na primjer, preopterećenja, lokalna odstupanja od izračunatog načina rada Elementi i sustavi su pogrešni materijali, mijenjaju vanjske uvjete itd., Posjedujući uzročne obveznice različitih stepena i različite prirode uzrokujući nagle koncentracije opterećenja koje prelaze izračunato opterećenje.

Neuspjesi zrakoplovne opreme ovise o mnogim razlozima, u preliminarnom se procjenjuju u smislu njihove količine kao najvažnije ili manje. Ovo je izazov razmatrati broj kvarova i vremena njihovog izgleda od 1 kvalitete slučajnih varijabli, tj. Vrijednosti koje ovise o slučaju na slučaju mogu poduzeti različite vrijednosti, koje nisu poznate kada nije poznato .

Uspostavljanje kvantitativnih zavisnosti klasično - III metode sa tako teškom situacijom, gotovo ne - 1k 11, jer brojni manji slučajni faktori igraju tako istaknutu ulogu da je nemoguće izdvojiti prvu mesu, glavne faktore mnogih drugih drugih ne može biti. Pored toga, upotreba samo klasičnih metoda IP - "istraživanja na osnovu razmatranja umjesto fenomena njegovog oproštajnog i idealiziranog modela izgrađenog na računu. Vi ste glavni faktori i zanemarivanje sekundarnog, uvijek daje tačan rezultat.

Osoba koja bi u ovom trenutku proučavala takve pojave s postignutim nivoom razvoja nauke i tehnologije, može se koristiti teorija vjerojatnosti i ma. EMN I trebate status - nauke koje proučavaju zakon - III u nasumičnim pojavama i u nekim slučajevima do - IIÍ\u003e '111) 110111110 Klasične metode.

Ove metode trebaju uključivati \u200b\u200bsljedeće i pH oba YU geletnika:

I) Sinyín'íírnch'kiye metode, bez otkrivanja pojedinca ї i razloge za PI lglyugo neuspjeh, umjesto toga uspostavljaju

......... i. І rvniiii o računaru Iyii. I.íga masovna eksploatacija sa

Mill ............ (Iknímo (Igra I sjever) u uvjetima

"U hi" "ї i ja sam razlozi;

"I" i ") NI ii'ii KII metode dobivene odluke-

1 "......... і Potražite m subjedone odgovaraju svemu

1 .. PCK "PCARN. u. IK Ulion Rad, a ne isti ili mi shríїníїiїi i snažno pojednostavljena šema; m i..i osnova masovnih zapažanja za pojavu otitis i í. June Mogu li prepoznati opće obrasce, čija se inženjerska analiza otvara način povećanja PND-a zrakoplovne opreme u procesu stvaranja i ali korijen na određenom nivou tokom rada.

Navedene prednosti ovog matematičkog aparata i dalje su prihvatljive za učenje ispitivanja pouzdanosti vazduhoplovne opreme. Istovremeno, u praksi treba uzeti u obzir posebna ograničenja, nagrada

statističkim metodama koje ne mogu dati odgovor na pitanje da li će ovaj tehnički uređaj funkcionirati da funkcioniše za nas zanimaju ili ne. Ove metode pružaju priliku samo za utvrđivanje vjerojatnosti bez problema određene instance zrakoplovne opreme i procjenu rizika da je razdoblje interesa koji nas zanima odbijanje.

Zaključci dobiveni statističkim sredstvima uvijek se temelje na prošlom iskustvu operativne avione tehnologije, a samim tim i procjena budućih neuspjeha bit će stroga samo s prilično tačnom slučajnošću operativnih uvjeta (načini rada, uvjeti skladištenja).

Da biste analizirali i procijenili raspoloživost i spremnost zrakoplovne opreme, ove metode također koriste ove metode koristeći obrasce teorije masovnog održavanja i posebno neke dionice teorije restauracije.

Libert Elena

Azart i žeđ da se obogaćuju da su podsticaj dali nastanku nove izuzetno značajne matematičke discipline: teorije vjerojatnosti. U razvoju svojih temelja, matematike takve skale, poput Pascala i farme, Guygens sudjelovali su.

Skinuti:

Pregled:

Mbou SS №8 G. Yartsevo Smolensk

Projekt iz matematike:

"Istorija pojave teorije vjerojatnosti"

Pripremljeno: Student 11 razreda

srednja škola №8 Libert Elena

Voditelj: Učitelj matematike

Borisenkova Olga Vladimirovna

Yartsevo, 2015

Istorija pojave teorije verovatnoće ........................................ .................................................. ... .................. ... ... 3

Srednjovjekovna Europa i početak novog vremena ............................ 4

XVII Century: Pascal, Farma, Guygens ... .. ..................................... ... 5

XVIII CENTURY ...... .. ......................................... .............................. 7

XIX vek. Uobičajeni trendovi i kritici ........................................ ..7

Primjena teorije vjerojatnosti u XIX-XX vekovima ..................... ... 8 ... 8

1. Astronomija ................................................. ................. .8.
2. Fizika ............................... .................. ........................ 9
3. Biometrics ............... ... ............................... .................... 9
4. Poljoprivreda ................................................. ...... ..9
5. Industrija ................................................. .......... 10
6. Lijek ................................................. ................. .... 10
7. BioInformatika ............... ... ............................... ............10
8. Ekonomija i bankarstvo ....... .................................... .11

Istorija pojave teorije vjerojatnosti

Francuski plemić, neki gospodin Deert, bio je igrač kocke u kosti i strastveno je želio obogatiti. Proveo je puno vremena da otvori misteriju igre u kosti. Izmislio je razne opcije za igru, pretpostavljajući da će tako steći glavni uvjet. Dakle, na primjer, ponudio je da baca jednu kost zauzvrat 4 puta i uvjereni partner, koji bi barem jednom ispao u isto vrijeme. Ako za 4 bacanja šest nije izašlo, protivnik je pobedio.

U tim danima još uvijek nije postojala grana matematike, koja danas nazivamo teoriju vjerojatnosti i dakle, da bismo bili sigurni da li su njegove pretpostavke istinite, gospodin General se okrenuo svom prijatelju, poznatom matematiku i filozofu B. Pascal s zahtjevom za naučenje dva poznata pitanja, prvo od kojih je pokušao riješiti sebe. Pitanja su bila takva:

Koliko puta trebate bacati dvije kosti za igranje, tako da postoji više od polovine ukupnog bacanja izazova kako bi se prilike dva šest sati?

Kako jednostavno podijeliti novac postavljen na isti igračima ako su prerano zaustavili igru \u200b\u200biz nekih razloga?

Pascal se ne samo zanimalo samo za to, već je napisao i pismo čuvenoj matematičarskoj P. Farmi, što je izazvalo da se bavi općim zakonima igre u kostiju i verovatnoću pobede.

Dakle, uzbuđenje i žeđ da se obogaćuju podsticaj nastanku nove izuzetno značajne matematičke discipline: teorije vjerojatnosti. U razvoju svojih temelja, matematike takve skale, poput Pascala i farme, Guygens (1629-1695), koji su napisali put "na naseljima na kockanje", Yakov Bernoulli (1654-1754), MOAVR (1667-1754) , Laplace (1749- 1827), Gauss (1777-1855) i Poisson (1781-1840). Danas se teorija vjerojatnosti koristi u gotovo svim granama znanja: u statistici, vremenskih oružari (vremenska prognoza), biologija, ekonomija, tehnologija, građevinarstvo itd.

Srednjovjekovna Europa i početak novog vremena

Prvi zadaci vjerojatne prirode nastali su u različitim igrama za kockanje - kosti, mape itd. Francuski Canonon XIII Century Richard de Furnival ispravno izračunao sve moguće tačke bodova nakon bacanja tri kostiju i ukazala na broj načina na koji svaki od tih iznosa može Ispanite. Ovaj broj metoda može se smatrati prvom numeričkom mjerom očekivanog događaja, slično vjerojatnosti. Opremanje, a ponekad nakon toga, ova mjera se često obračunava, razmatrajući, na primjer, da su iznosi 3 i 4 boda podjednako, jer se oboje mogu pokazati "na jedan način na jedan način": prema rezultatima Bacanje "tri jedinice" i "dvije dvije jedinice" respektivno. Nije uzeto u obzir da su tri jedinice u stvari dobivaju samo na jedan način: ~ 1 + 1 + 1, a dva puta s dvije jedinice - tri: ~ 1 + 1 + 2; \\; 1 + 2 + 1; \\; ; 2+ 1 + 1, tako da ovi događaji nisu jednaki. Slične greške više puta su se sastale u budućoj istoriji nauke.

U opsežnoj matematičkoj enciklopediji "zbroj aritmetike, geometrije, odnosa i proporcija" italijanskog Luke Pachet (1494) sadrži originalne zadatke na temu: Kako podijeliti ponudu između dva igrača ako se niz igara rano prekine. Primjer takvog zadatka: Igra ide do 60 bodova, pobjednik dobiva cijelu opkladu u 22 Ducat, tokom igre, prvi igrač je postigao 50 bodova, drugih - 30, a zatim je igru \u200b\u200bmorala zaustaviti igru; Potrebno je podijeliti početnu stopu. Rješenje ovisi o onome što se razumije pod odjeljkom "Sajam"; Sam pachet predložio je da podijeli proporcionalno postignute bodove (55/4 i 33/4 Ducata); Kasnije je njegova odluka priznata u pogrešnoj.

Distribucija količine naočala nakon bacanja dvije kosti

Velika algebarista XVI vijeka Jerolamocardano posvećena analizi igre značajne monografije "Knjiga igre u kosti" (1526, objavljena posthumno). Cardano je izvršio kompletnu i grešku u kombinatoričkoj analizi za vrijednosti točaka bodova i ukazala na očekivanu vrijednost udjela "povoljnih" događaja za različite događaje: na primjer, prilikom bacanja tri kostiju Slučajevi kada se vrijednosti svih 3 kostiju podudaraju 6/216 ili 1/36. Cardano je napravio pronizu: stvarni broj događaja u studiji može se razlikovati u malom broju igara da se mnogo razlikuju od teorijskog, ali više igara u nizu, udio ove razlike je manji. U suštini, Kardano je blisko prišao konceptu vjerojatnosti:

Dakle, postoji jedno opće pravilo za izračun: potrebno je uzeti u obzir ukupan broj mogućih depozita i broja načina na koji se mogu pojaviti te kažnje, a zatim pronaći omjer posljednjeg broja na broj preostalih mogućih depozita .

Još jedan italijanski algebarist, Niccolo Tartallia, kritikovao je pristup pachet-a da riješi problem odlija stope: nakon svega, ako jedan od igrača nije imao vremena da zaposli niti jedan bod, algoritam pacheta daje sve opklade na svom protivniku, ali Teško je to nazvati sasvim jer neke šanse za pobjedu još uvijek je zaostala. Cardano i Tartallia ponudili su vlastite (različite) načine razdvajanja, ali kasnije su ove metode prepoznate kao neuspješne.

Studija ove teme bila je angažovana u Galileu Galileeju, koji je pisao traktat "o prinosu naočala prilikom sviranja kosti" (1718, objavljen posthumno). Prezentacija teorije Galilee igre odlikuje se iscrpnom punoćom i jasnoćom. U svojoj glavnoj knjizi "Dijalog o dva glavna sistema Svijeta, Ptolomeva i Kopernikova" ukazao je i na sposobnost da procijene grešku astronomske i druge mjerenja i izjavljuju da su male greške u mjerenjima najvjerovatnije od velike, odstupanja u oba Strane su jednako jednako, a prosječni rezultat treba biti blizu pravog značenja izmjerene vrijednosti. Ovim kvalitativnim rezonovanjem postalo je prvo u povijesti predviđanja normalne distribucije greške.

XVII Century: Pascal, Farma, Guigens

U XVII veku pojavila se jasna ideja o problemu teorije verovatnoće i prvih matematičkih (kombinatorskih) metoda rešavanja verovatnotnih zadataka. Osnivači matematičke teorije vjerojatnosti bili su blaise pascal i pierre farma.

Prije toga, matematičar-amaterski Chevalie-ov način pretvorio se u Pascal o takozvanom "Zadaci čaša": Koliko puta trebate baciti dvije kosti za stavljanje istodobnog gubitka najmanje dva puta, bilo je profitabilno? Pascal i farma ušli su u prepisku jedni s drugima o ovom zadatku i srodnim pitanjima (1654). Kao dio ove prepiske, naučnici su razgovarali o nizu problema povezanih s vjerojatnim proračunima; Konkretno, razmatran je stari zadatak odjeljka stope, a oba su naučnika došla do odluke da je potrebno podijeliti stopu prema preostalim šansama za pobjedu. Pascal je ukazao na grešku prilikom rješavanja "ciljeva o naočalama": Iako je to upisano pogrešno identificiralo ravnotežnije događaje, primio odgovor: 24 bacanje, Pascal je dao tačan odgovor: 25 snimaka.

Pascal u svojim spisima daleko napredno korištenje kombinatorskih metoda, koje su sistematizirane u njegovoj knjizi "Traktat na aritmetičkom trokutu" (1665). Na osnovu vjerojatnog pristupa, Pascal se čak tvrdio (u posthumno objavljenim notama), koji je isplativiji od ateista.

Guigen, prvo su koristili izraz "trošak", a pojam "čeka" prvi put je pojavio traktat Huygens Van Sokhutene prebačen na latinski jezik i postao je općenito prihvaćen u nauci.

Knjiga ima veliki broj zadataka, neki sa rješenjima, drugima "za neovisno rješenje." Potonjeg, posebnog interesa i živahnu raspravu izazvala je "zadatak uništavanja igrača". U nešto generalizovanom obliku formulisan je na sljedeći način: Igrači A i B imaju A i B kovanice, u svakom igri pobjeđuje jedan novčić, vjerojatnost pobjede u svakoj utakmici je jednaka p, potrebno je pronaći P, potrebno je pronaći vjerojatnost njegove potpune ruševine. Kompletno cjelokupno rješenje "obvezničkog problema" dao je Abraham de Moavr pola stoljeća kasnije (1711). Danas se vjerojatnička shema "ruševina zadataka" koristi u rješavanju mnogih izazova poput "slučajnog lutanja".

Huygens je analizirao i zadatak odsjeka stope, dajući njenu konačnu odluku: stopa treba podijeliti srazmjerno vjerovatništvima dobitaka kada se igra nastavlja. Također je prvi put primijenio vjerojatnosti metoda demografskim statistikama i pokazao kako izračunati prosječni životni vijek.

U istom periodu uključuju objavljivanje engleske statistike John Round (1662) i William Petti (1676, 1683). Podaci o obradi u više od jednog stoljeća pokazali su da su mnoge demografske karakteristike londonskog stanovništva, uprkos nasumičnim fluktuacijama, prilično održivi - na primjer, omjer broja novorođenih dječaka i djevojčica rijetko je odstupio od udjela od 14 do 13, vibracije i postotak smrtnosti od konkretnih slučajnih uzroka. Ti su podaci pripremili naučnu zajednicu u percepciju novih ideja.

Grace je prvi put sastavila i tablicu smrtnosti - verovatnoće tablice smrti kao funkcije starosti. Johann Hood i Yang De Witt u Holandiji, koji su u 1671. također činili stol za smrtnost i koristili ih za izračunavanje veličine najma od 1671. godine, bilo je i pitanja teorije vjerojatnosti i njegova korištenja demografskim statistikama. U detalje su u više detalja izvedena 1693. godine Edmund Galem.

XVIII vek

Na početku XVIII vijeka, tretira "iskustva u Pierre de Montmor" (objavljeni su 1708. godine i ponovo objavljene sa dodacima u 1713.) i Jacob Bernoulli "umjetnost pretpostavki" (objavljeno nakon smrti naučnika, u istom 1713. godine ). Potonji je imao za teoriju vjerojatnosti posebno je od velikog značaja.

XIX vek

Opći trendovi i kritika

U XIX veku, broj rada na teoriji verovatnoće nastavio je rasti, čak i kompromitirajuće naučne pokušaje širenja njegovih metoda daleko izvan razumnih ograničenja - na primer, na regiji morala, psihologiju, privrede zakona, pa čak i teologije. Konkretno, bitno filozof Richard cijene, a nakon njega i Laplace, smatra se da je moguće izračunati vjerojatnost nadolazećeg izlaska sunca, Poisson je pokušao sprovesti vjerojatnosti sudskih kaznih presuda i pouzdanosti svjedočenja. Filozof J. S. Mlin 1843. godine, koji ukazuje na takve špekulativne aplikacije, nazvane računom vjerojatnosti "sramota matematike". Ova i druge procjene svjedočile su nedovoljnom strogošću opravdanja teorije vjerojatnosti.

Matematički aparat teorije vjerojatnosti u međuvremenu se i dalje poboljšava. Glavna sfera njegove primjene u to vrijeme bila je matematička obrada promatračkih rezultata koja sadrži nasumične pogreške, kao i izračunavanja rizika u osiguranju i drugim statističkim parametrima. Među glavnim primijenjenim zadacima teorije vjerojatnosti i matematičke statistike XIX stoljeća može se nazvati sljedećem:

pronađite šansu da je zbroj nezavisnih nasumičnih varijabli s istim (poznatim) zakonom o distribuciji unutar navedenih granica. Ovaj je problem bio posebno važan za teoriju grešaka mjerenja, prije svega za procjenu greške u promatranju;

postavljanje statističkog značaja razlike u nasumičnim vrijednostima ili nizom takvih vrijednosti. Primjer: Upoređivanje rezultata primjene novih i starih vrsta lijekova kako bi donijeli odluku o tome je li novi lijek zaista bolji;

studija utjecaja određenog faktora na slučajnu varijablu (faktor analize).

Već sredinom XIX veka formira se verovatnoća teorija artiljerijskog pucanja. Većina glavnih zemalja u Evropi stvorila je nacionalne statističke organizacije. Krajem veka, opseg verovatnoće metoda počeo je pravilno pospagragirati fiziku, biologiju, ekonomičnoj, sociologiji.

Upotreba teorije vjerojatnosti u XIX-XX veku.

U 19. i 20. veku, teorija verovatnoće prodire u nauku (astronomija, fizika, biologija), zatim u praksu (poljoprivreda, industrija, medicina) i na kraju, nakon izuma računara, u svakodnevnom životu bilo koje osobe koja koristi Moderna sredstva za dobivanje i prenošenje informacija. Odmolite nas da se koristimo u raznim poljima.

1. Astronomija.

Bilo je to za upotrebu u astronomiji da je razvijena čuvena "metoda najmanje kvadrata" (Legender 1805, Gauss 1815). Glavni zadatak, za rješavanje kojeg je prvobitno korišten, bio je izračun kometa orbita, koji je ostvaren na malom broju zapažanja. Jasno je da je pouzdana definicija vrste orbite (elipsa ili hiperbola) i tačan izračun njegovih parametara, jer se orbita primijeće samo u malom području. Pokazalo se da je metoda efikasna, univerzalna i izazvala je brzu raspravu o prioritetu. Počelo se koristiti u geodezi i kartografiji. Kada se izgubi umjetnost ručnih proračuna, teško je zamisliti da je prilikom izrade svjetskih okeanskih kartica u 1880-ima u Engleskoj, sustav koji se sastoji od oko 6.000 jednadžbi s nekoliko stotina nepoznanica brojčano riješeno metodom najmanjih Trgovi.

2.Physics.

U drugoj polovici 19. stoljeća, Maxwell, Boltzmann i Gibbs razvio je statistička mehanika, koja je opisala stanje ispuštenih sistema koji sadrže ogroman broj čestica (postupak nogadrovog broja). Ako je ranije, koncept raspodjele slučajnog varijable bio je pretežno zbog raspodjele grešaka mjerenja, zatim raznolikost brzina, energije, besplatne dužine kilometraže.

3.Biometrija.

1870-1900, Belgijski Ketle i Britanci Francis Galton i Karl Pearson osnovali su novi naučni smjer - biometrija u kojoj je neizvjesna varijabilnost živih organizama i nasljedstvo kvantitativnih znakova počelo sustavno i kvantitativno. Naučni promet uveo je nove koncepte - regresije i korelacije.

Dakle, do početka 20. stoljeća, glavne primjene teorije vjerojatnosti povezane su s istraživanjima. Provedba u praksi - poljoprivreda, industrija, medicina se dogodila u 20. stoljeću.

4. Prodajna ekonomija.

Početkom 20. stoljeća u Engleskoj dostavljen je zadatak kvantitativnog usporedbe učinkovitosti različitih metoda poljoprivrede. Da bismo riješili ovaj problem, razvijena je teorija planiranja eksperimentiranja, razvijena disperzijska analiza. Glavna zasluga u razvoju ove već čisto praktične upotrebe statistika pripada Sir Ronaldu Fisheru, Astronomi obrazovanje, te u daljnjem poljoprivredniku, statistiku, genetiku, predsjedniku britanskog kraljevskog društva. U Engleskoj je razvijena moderna matematička statistika pogodna za široku upotrebu u praksi (Karl Pearson, student, Fisher). Student je prvi put riješio zadatak procjene nepoznatog parametra distribucije bez korištenja Bayesianskog pristupa.

5. Industrija.

Uvođenje metoda statističke kontrole u proizvodnji (Shukhart kontrolne mape). Smanjenje potrebnog iznosa testova kvaliteta proizvoda. Matematičke metode su već toliko važne da su počele klasificirati. Dakle, knjiga s opisom nove metodologije koja je omogućila smanjenje broja testova ("CALD-ova konzistentna analiza") objavljena je tek nakon završetka Drugog svjetskog rata 1947.

6.Medicin.

Rasprostranjena upotreba statističkih metoda u medicini započela je relativno nedavno (drugu polovinu 20. stoljeća). Razvoj efikasnih metoda liječenja (antibiotici, inzulin, efikasna anestezija, umjetna cirkulacija krvi) zahtijevali su pouzdane metode za procjenu njihove učinkovitosti. Bio je novi koncept "medicine zasnovane na dokazima". Počeo razvijati formalniji, kvantitativni pristup terapiji za mnoge bolesti - uvođenje protokola, smjernica.

Od sredine 1980-ih, pojavio se novi i najvažniji faktor, revolucionira sve primjene teorije vjerojatnosti - mogućnost široke upotrebe brzih i pristupačnih računara. Možete osjetiti sve pare incidenta. Termonuklearna bomba. Sada se metoda izravnog eksperimentiranja može dobiti rezultatima koji su prethodno bili dostupni - razmišljanje.

7. Bioinformatika.

Od 1980-ih, broj poznatih nizova proteina i nukleinskih kiselina se brzo povećava. Količina akumuliranih informacija je da samo računarska analiza ovih podataka može riješiti zadatke za vađenje informacija.

8. Ekonomija i bankarstvo.

Rasprostranjena upotreba ima teoriju rizika. Teorija rizika je teorija odlučivanja u vjerojatnoj nesigurnosti. Sa matematičkog stanovišta, to je dio teorije vjerojatnosti te teorije rizika primjene su praktično neograničene. Finansijsko polje prijava najpromisija je: bankarstvo i osiguranje, upravljanje tržištima i kreditni rizici, ulaganja, poslovni rizici, telekomunikacije. Nefinansijske aplikacije se razvijaju vezane za prijetnje zdravlju, okolišu, rizicima nesreća i ekoloških katastrofa i drugih smjerova.