Teória pravdepodobnosti v živote. Webinar "Kde sa teória pravdepodobnosti uplatňuje pravdepodobnosť

Definícia. Pravdepodobnosť Teória je vedeckým štúdiom v náhodných javoch.

Definícia. Náhodný fenomén je fenoménom, že opakovaný test nastáva vždy odlišne.

Definícia. Skúsenosti - Ľudský alebo proces, testovanie.

Definícia. Udalosť - výsledok skúseností.

Definícia.Predmetom pravdepodobnosti teórie je náhodné javy a špecifické vzory hromadných náhodných javov.

Klasifikácia udalostí:

Udalosť sa volá spoľahlivý Ak sa v dôsledku skúseností, určite stane.

Príklad. Školská lekcia bude určite ukončená.

Udalosť sa volá nemožný Ak sa za daných podmienok nikdy nestane.

Príklad. Ak v reťazci neexistuje elektrický prúd, lampa sa nerozsvieti.

Udalosť sa volá náhodný alebo nemožný Ak sa v dôsledku skúseností môže nastať alebo sa nestane.

Príklad.Udalosť - odovzdať skúšku.

Udalosť sa volá rovný Ak podmienky pre vzhľad toho istého a neexistuje žiadny dôvod povedať, že v dôsledku skúseností má jeden z nich šancu sa objaviť viac ako iné.

Príklad. Strata erb alebo zrelé pri hádzaní mincí.

Udalosti sa nazývajú spojenie Ak sa vzhľad jedného z nich nevylučuje možnosti vzhľadu iného.

Príklad. Pri snímaní, udalostiach slečna a letu.

Udalosť sa volá nezvyčajný Ak sa vzhľad jedného z nich eliminuje možnosť vzhľadu iného.

Príklad. S jedným záberom, biť a miss - udalosti nie sú spoločné.

Nazývajú sa dve neúplné udalosti oproti Ak sa v dôsledku skúseností uskutoční jeden z nich.

Príklad.Pri prechode skúšky sa udalosti "prešli skúškou" \u200b\u200ba "neprejavili skúšku," sa nazývajú naproti.

Označenie: - Normálna udalosť, - opačná udalosť.

Niekoľko foriem udalostí kompletná skupina neúplných udalostí Ak je to len jeden z nich v dôsledku skúseností.

Príklad. Pri prechode skúšky je možné: "Nedospel som skúšku," "prešiel" 3 "," prešiel som na "4", "kompletná skupina neúplných udalostí.

Pravidlá výšky a práce.

Definícia. Súčet dvoch diel a. a b. Zavolajte udalosť c. pozostáva z udalostí a. alebo udalosti b. Alebo súčasne.

Množstvo udalostí sa nazýva kombinácia udalostí (Vzhľad aspoň jednej z udalostí).

Ak je problém zrejmý v úlohe, čo by sa malo objaviť a. Alebo b. , hovoria, že nájdu sumu.

Definícia. Pracovné udalosti a. a b. Zavolajte udalosť c. Skladá sa v súčasnom výskyte udalostí a. a b. .

Produkt sa nazýva priesečník dvoch podujatí.

Ak úlohou hovorí, že nájdu a. A b. Takže nájdite prácu.

Príklad. S dvoma zábermi:

ak potrebujete nájsť aspoň raz, potom nájdite sumu.
ak potrebujete dvakrát nájsť hit, potom sa práca nachádza.

Pravdepodobnosť. Pravdepodobnosť majetku.

Definícia. Frekvencia niektorých udalostí sa nazýva číslo rovnajúce sa pomeru počtu experimentov, v ktorých sa udalosť objavila počtu všetkých experimentov.

Označenie: R () - Frekvencia udalostí.

Príklad. Hádzanie mince 15 krát a zároveň srsť ramien klesá 10-krát, potom frekvencia srsti rúk: R () \u003d.

Definícia. S nekonečne veľkému počtu experimentov sa frekvencia udalostí rovná pravdepodobnosti udalosti.

Stanovenie klasickej pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť podujatia sa nazýva pomer počtu prípadov, ktoré vedú k vzniku tejto udalosti medzi všetkými jedinými prípadmi a rovnovážnymi prípadmi.

Označenie: Kde P je pravdepodobnosť

m je počet prípadov priaznivého udalosti.

n je celkový počet možných a rovnovážnych prípadov.

Príklad. V súťažiach sa na behu zúčastňuje 60 študentov Chiep. Každý má číslo. Nájdite pravdepodobnosť, že študentské číslo získané preteky neobsahuje čísla 5.

Vlastnosti pravdepodobnosti:

hodnota pravdepodobnosti nie je negatívna a uzavretá medzi hodnotami 0 a 1.
pravdepodobnosť je 0, potom a len ak je to pravdepodobnosť nemožnej udalosti.
pravdepodobnosť je 1, potom a len ak je to pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti.
pravdepodobnosť tej istej udalosti je vždy závislá od počtu experimentov a zmien len vtedy, ak podmienky na vykonávanie zmeny skúseností.

Stanovenie geometrickej pravdepodobnosti. Geometrická pravdepodobnosť sa nazýva vzťah časti oblasti, hit, v ktorom sa zvolený bod musí nachádzať v celej oblasti, hit, v ktorom je v tomto bode rovnaký.

Región môže byť mierou dĺžky dĺžky alebo objemu.

Príklad. Nájdite pravdepodobnosť biť určitý bod na pozemok 10 km dlhý, ak je to potrebné, takže sa dostane v blízkosti koncov segmentu, nie ďalej ako 1 km od všetkých.

Komentár.

Ak majú opatrenia oblasti S a S rôzne jednotky merania podľa stavu problému, potom vyriešiť S a S, aby sa dosiahol jediný rozmer.

Zlúčenina. Prvky kombinácie.

Definícia. Kombinácia prvkov rôznych skupín, vyznačujúci sa poradím prvkov alebo aspoň jedným prvkom nazývaným zlúčeniny.

Pripojenia sú:

Ubytovanie

Kombinácia

Preskupený

Definícia. Miesta z N - prvkov podľa M krát sa nazývajú zlúčenina, ktorá sa od seba líši, aspoň jeden prvok a poradie prvkov.

Definícia.V kombinácii z n prvkov M sa nazýva zlúčenina pozostávajúca z rovnakých prvkov, ktoré sa líšia aspoň jedným prvkom.

Definícia. Permutácie z n prvkov sa nazývajú zlúčeniny pozostávajúce z rovnakých prvkov, ktoré sa od seba navzájom líšia len poradím prvkov.

Príklad.

1) V koľkých spôsoboch môžete vytvoriť autokolu z 5 áut.

2) Koľko spôsobov je možné predpísať v triede 3 povinnosti, ak je celá osoba v triede 25.

Keďže poradie prvkov nie je dôležité a skupiny zlúčenín sú charakterizované počtom prvkov, potom vypočítajte počet kombinácií 25 prvkov 3.

spôsoby.

3) Koľko metód z čísel 1,2,3,4,5,6 môže byť 4-miestne číslo. Preto, pretože Zlúčeniny sú charakterizované poradím umiestnenia a aspoň jedným prvkom, potom vypočítajte umiestnenie 6 prvkov 4.

Príklad použitia kombinatorických prvkov na výpočet pravdepodobnosti.

V časti N produktov - m - chybné. Náhodne vybrať L-produkty. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi nimi bude presne k - manželstvá.

Príklad.

10 chladničiek z nich bolo privedených do skladu do skladu 4- 3xcarmers, zvyšok je 2xcam.

Nájdite šancu, že medzi zvolenými ľubovoľným spôsobom - 3 bude 3xcam.

Hlavné teórie pravdepodobnosti.

Teorem 1.

Pravdepodobnosť súčtu 2 nekonzistentných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobnosti týchto udalostí.

Corollary.

1) Ak udalosť vytvára kompletnú skupinu neúplných udalostí, potom je súčet ich pravdepodobnosti rovná 1.

2) Súčet pravdepodobnosti 2 opačných udalostí je 1.

Veta 2.

Pravdepodobnosť práce 2 nezávislých udalostí sa rovná produktu ich pravdepodobnosti.

Definícia. Udalosť A sa nazýva nezávislá od udalosti v prípade, že sa objaví pravdepodobnosť udalosti a nezávisí od toho, či sa udalosť alebo nie.

Definícia. 2 Udalosti sa nazývajú nezávisle v prípade, že pravdepodobnosť výskytu jedného z nich závisí od vzhľadu alebo nie vzhľadu druhého.

Definícia.Pravdepodobnosť udalosti vo vypočítanom predmete, ktorú udalosť vyskytla, sa nazýva podmienková pravdepodobnosť.

Veta 3.

Pravdepodobnosť práce 2x nezávislých udalostí sa rovná pravdepodobnosti vzhľadu jednej udalosti na podmienenú pravdepodobnosť druhého napriek tomu, že sa stala prvá udalosť.

Príklad.

Knižnica má 12 učebníc v matematike. Z týchto, 2 učebnice na základnej matematike, 5 - na teóriu pravdepodobnosti, zvyšok - na vyššej matematike. Výber ľubovoľného spôsobu 2 učebnice. Nájdite pravdepodobnosť, že sú obaja základná matematika.

Veta 4. Pravdepodobnosť udalosti aspoň 1 krát.

Pravdepodobnosť aspoň jednej z udalostí, ktoré tvoria kompletnú skupinu neúplných udalostí, sa rovná rozdielu medzi prvým a produktom pravdepodobnosti opačných údajov.

Potom

Corollary.

Ak je pravdepodobnosť každej udalosti rovnaká a rovná p, potom pravdepodobnosť, že aspoň jedna z týchto udalostí sa zobrazí, rovná

N - počet vyrobených experimentov.

Príklad.

Produkujú 3 cieľové zábery. Pravdepodobnosť vstupu na prvý výstrel 0,7, v druhom - 0,8, na treťom - 0,9. Nájdite šancu, že s tromi nezávislými zábermi v cieli bude:

A) 0 hity;

B) 1 hit;

C) 2 hit;

D) 3 hit;

E) aspoň jeden hit.

Veta 5. Formula plná pravdepodobnosť.

Nech sa môže udalosť objaviť spolu s jednou z hypotéz, potom pravdepodobnosť, že udalosť, ktorá sa stala, sa nachádza podľa vzorca:

a. Dávame spoločný menovateľ.

Tak Vyhrajte jednu dávku 2 na ekvivalentnom súperi, je pravdepodobnejšie, že vyhrá 2 strany od 4.

Pošlite svoju dobrú prácu v znalostnej báze je jednoduchá. Použite nižšie uvedený formulár

Študenti, absolventi študenti, mladí vedci, ktorí používajú vedomostnú základňu vo svojich štúdiách a práce, budú vám veľmi vďační.

Podobné dokumenty

Vznik a vývoj teórie pravdepodobnosti a jej aplikácií. Riešenie Classic Game Paradoxy v kosti a "hazardné hry". Paradox zákona veľkého počtu Bernoulli a Berran, narodeniny a distribúcie darov. Štúdium paradoxov z knihy sech.

vyšetrenie, pridané 05/29/2016

Essence a predmet teórie pravdepodobnosti, ktorá odráža vzory, ktoré sú obsiahnuté náhodne masívnymi javmi. Študovanie vzorov homogénnych homogénnych náhodných javov. Popis najobľúbenejších v teórii pravdepodobnosti experimentov.

prezentácia, pridané 17.08.2015

Podstatou koncepcie "kombinácie". Historický certifikát z histórie rozvoja vedy. Pravidlo sumy a diel, umiestňovania a permutácií. Všeobecný pohľad na vzorec pre výpočet počtu kombinácií s opakovaním. Príklad riešenia problémov na teóriu pravdepodobnosti.

vyšetrenie, pridané 01/30/2014

Teória pravdepodobnosti ako matematické vedy študujúce vzory v homogénnych homogénnych prípadoch, javoch a procesoch, predmetoch, základných pojmoch a základných udalostiach. Stanovenie pravdepodobnosti udalosti. Analýza hlavných teórie pravdepodobnosti.

cheat list, pridaný 12/24/2010

Vznik teórie pravdepodobnosti ako veda, príspevok zahraničných vedcov a Matematickou školou sv. Petrohrade do jej vývoja. Koncepcia štatistickej pravdepodobnosti udalosti, výpočet najvhodnejšieho počtu udalostí. Podstatou miestnej oblasti Laplace Theorem.

prezentácia, pridaná 19.07.2015

Zásady riešenia problémov na hlavných častiach teórie pravdepodobnosti: náhodné udalosti a ich prípustnosť, nedobrovoľné hodnoty, distribúcie a numerické charakteristiky chladičov, hlavné limitné teoremy pre sumy nezávislých pravdepodobnostných množstiev.

vyšetrenie, pridané 03.12.2010

Výhodou použitia Bernoulliho vzorca, jeho miesto v teórii pravdepodobnosti a aplikácie v nezávislých testoch. Historická esej o živote a aktivitách švajčiarskej matematiky Jacob Bernoulli, jeho úspechy v oblasti diferenciálneho kalkulu.

prezentácia, pridaná 11.12.2012

Výskum J. Kartano a N. Tartalia v oblasti rozhodnutia primárnych úloh teórie pravdepodobnosti. Príspevok Pascal a farmy vo vývoji teórie pravdepodobnosti. Práca H. Guygens. Prvé štúdie o demografii. Vytvorenie koncepcie geometrickej pravdepodobnosti.

kurz práce, pridané 24.11.2010

"Nehoda nie je náhodná" ... to znie ako filozof povedal, ale v skutočnosti študovať náhodnosť veľkej vedy matematiky. V matematike sa angažuje šanca na teóriu pravdepodobnosti. Formulárne a príklady úloh, ako aj hlavné definície tejto vedy budú uvedené v článku.

Čo je pravdepodobnostná teória?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktoré štúdie náhodné udalosti.

Ak chcete byť mierne jasnejší, dávame malý príklad: ak vyhodíte mincu, môže spadnúť "orol" alebo "široký". Kým minca je vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov koreluje 1: 1. Ak vytiahnete jednu z paluby s 36 kartami, potom bude pravdepodobnosť označená ako 1:36. Zdá sa, že by nebolo nič skúmať a predpovedať, najmä s pomocou matematických vzorcov. Avšak, ak mnohokrát opakujete určitú akciu, je možné identifikovať určitú pravidelnosť a je na ňom založená na tom, aby predpovedal výsledok udalostí v iných podmienkach.

Ak by sme zovšeobecnili všetky vyššie uvedené, teória pravdepodobnosti v klasickom porozumení skúma možnosť jedného z možných udalostí v číselnej hodnote.

Z historických stránok

Teória pravdepodobnosti, vzorcov a príkladov prvých úloh sa objavili v diaľke stredoveku, keď sa prvýkrát pokúsili predpovedať výsledok kartových hier prvýkrát.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. To je odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktorá by sa mohla reprodukovať v praxi. Prvá práca v tejto oblasti ako v matematickej disciplíne sa objavili v XVII storočí. Pascal a Pierre Farm boli kefy ako blejzre. Po dlhú dobu študovali hazardné hry a videli určité vzory, ktoré sa rozhodli povedať spoločnosti.

Rovnaká technika bola vynájdená Huygens kresťanmi, hoci nebol oboznámený s výsledkami štúdií Pascal a farmy. Koncepcia "teórie pravdepodobnosti", vzorcov a príkladov, ktoré sú považované za prvé v histórii disciplíny, boli zavedené.

JACOB BERNULLLI, LAPLAS A Poisson teoremy majú dôležitý význam. Urobili teóriu pravdepodobnosti viac ako matematická disciplína. Jeho súčasný pohľad na teóriu pravdepodobností, vzorcov a príkladov základných úloh bola získaná vďaka axiómom Kolmogorova. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jednou z matematických sekcií.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je udalosť. Udalosti sú tri druhy:

Spoľahlivé. Tí, ktoré sa vyskytnú v každom prípade (minca klesá).
Nemožné. Udalosti, ktoré sa nestane s akoukoľvek druhu (minca zostane visieť vo vzduchu).
Náhodné. Tie, ktoré sa vyskytnú alebo sa nestanú. Môžu ovplyvniť rôzne faktory, ktoré sú veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jeho tvaru, počiatočnú polohu, silu hádzania atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené kapitálom latinskými písmenami s výnimkou P, ktorá je pridelená iná úloha. Napríklad:

A \u003d "študenti prišli k prednáške."
Ā \u003d "Študenti nešli na prednášku."

V praktických úlohách sú udalosti akceptované na nahrávanie slov.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnováha. To znamená, že ak hodíte mincu, sú možné všetky možnosti počiatočného pádu, kým padli. Ale aj udalosti nie sú rovnaké. To sa stane, keď niekto špeciálne ovplyvňuje výsledok. Napríklad "označené" hracie karty alebo hranie kostí, v ktorých sa posunie ťažiska.

Dokonca aj udalosti sú kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti sa navzájom nevylučujú. Napríklad:

A \u003d "Študent prišiel k prednáške."
B \u003d "Študent prišiel k prednáške."

Tieto udalosti sú navzájom nezávislé a vzhľad jedného z nich nemá vplyv na vzhľad iného. Nekompatibilné udalosti sú určené skutočnosťou, že vzhľad človeka eliminuje vzhľad druhého. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata "misky" znemožňuje objaviť "orol" v tom istom experimente.

Akcie na udalosti

Udalosti sa môžu vynásobiť a zložiť, logické väzy "a" a "alebo" sú zavedené v disciplíne.

Suma je určená skutočnosťou, že udalosť A, alebo B alebo dva súčasne sa zobrazí. V prípade, že sú nekompatibilné, posledná možnosť je nemožná, vypadne von alebo A alebo V.

Násobenie udalostí je vzhľad a v rovnakom čase.

Teraz môžete dať niekoľko príkladov, aby ste lepšie pamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešení úloh Ďalej.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje na konkurencii o zmluvy pre tri odrody práce. Možné udalosti, ktoré sa môžu vyskytnúť:

A \u003d "Spoločnosť dostane prvú zmluvu."
A 1 \u003d "Firma nedostane prvú zmluvu."
B \u003d "Firma dostane druhú zmluvu."
V 1 \u003d "Firma nedostane druhú zmluvu"
C \u003d "Firma dostane tretiu zmluvu."
Od 1 \u003d "Spoločnosť nedostane tretiu zmluvu."

Pomocou akcie na udalosti sa pokúsme vyjadriť nasledujúce situácie:

K \u003d "Firma dostane všetky zmluvy."

V matematickej forme bude mať rovnica nasledujúci formulár: K \u003d ABC.

M \u003d "Spoločnosť nedostane jednu zmluvu."

M \u003d 1 v 1 s 1.

Dokončiť úlohu: H \u003d "Spoločnosť dostane jednu zmluvu." Vzhľadom k tomu, že nie je známe, aký druh zmluvy dostane spoločnosť (prvá, druhá alebo tretina), je potrebné zaznamenať celý rad možných udalostí:

N \u003d 1 Slnko 1 υ AV 1 C1 υ A 1 v 1 C.

A 1 Sun 1 je niekoľko udalostí, v ktorých spoločnosť nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale prijíma druhú. Ďalšie možné udalosti sú zaznamenané zodpovedajúcim spôsobom. Symbol υ v disciplíne označuje zväzok "alebo". Ak preložíme daný príklad na ľudský jazyk, firma dostane alebo tretiu zmluvu alebo druhý, alebo prvý. Podobne môžu byť iné podmienky zaznamenané v disciplíne "Teória pravdepodobnosti". Vzorce a príklady riešenia vyššie uvedených úloh vám pomôžu urobiť sami.

Skutočne, pravdepodobnosť

Možno, že v tejto matematickej disciplíne je pravdepodobnosť udalosti centrálnou koncepciou. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

klasické;
štatistické;
geometrické.

Každý má svoje miesto v štúdii pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorcov a príkladov (stupeň 9) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

Pravdepodobnosť situácie sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú svoj vzhľad, k počtu možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: p (a) \u003d m / n.

A - Vlastne, udalosť. Ak sa prípad objaví oproti A, môže byť napísaný ako ā alebo 1.

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - Všetky udalosti, ktoré sa môžu vyskytnúť.

Napríklad a \u003d "vytiahnite kartu červa obleku." V štandardnej 36 kartách, 9 z nich červy. Vzorec pre riešenie úlohy bude teda:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 0,25.

V dôsledku toho je pravdepodobnosť, že karta oblek červov sa vytiahne z paluby, bude 0,25.

Na vyššiu matematiku

Teraz sa stalo trochu známe, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia úloh, ktoré sa stretávajú v školskom programe. Pravdepodobnosť teórie sa však stretáva s vyššou matematikou, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie je tu prevádzkované geometrickými a štatistickými definíciami teórie a komplexných vzorcov.

Veľmi zaujímavá teória pravdepodobnosti. Formulárne a príklady (vyššia matematika) Je lepšie začať študovať z malej - od stanovenia štatistickej (alebo frekvencie).

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasikou, a mierne ho rozširuje. Ak v prvom prípade bolo potrebné určiť, ktorý pravdepodobnejšie nastane udalosť, potom je potrebné v tejto metóde potrebné uviesť, ako často sa vyskytne. Tu je zavedený nový koncept "relatívnej frekvencie", ktorá môže byť označená W N (A). Vzorec sa nelíši od klasiky:

Ak sa klasický vzorec vypočíta na predikciu, potom štatistické - podľa výsledkov experimentu. Vezmite si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologického kontroly kontroluje výrobky pre kvalitu. Medzi 100 produktov našlo 3 nízko kvalitné. Ako nájsť pravdepodobnosť frekvencie kvalitného produktu?

A \u003d "Vzhľad vysoko kvalitného tovaru."

W n (a) \u003d 97/100 \u003d 0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Kde ste dostali 97? 100 produktov, ktoré boli skontrolované, 3 sa ukázalo ako zlá kvalita. Od 100 otáčok 3 získame 97, toto je množstvo kvalitného produktu.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorics. Jeho hlavným princípom je, že ak určitá voľba A môže byť vykonaná M rôznymi spôsobmi, a výber B je n rôznymi spôsobmi, potom sa voľba A a B môže byť vykonaná vynásobením.

Napríklad, z mesta a v meste v mestách 5 ciest. Z mesta do mesta so 4 spôsobmi. Koľko spôsobov je možné dosiahnuť z mesta a do mesta?

Všetko je jednoduché: 5x4 \u003d 20, to znamená, že dvadsať rôznymi spôsobmi je možné dosiahnuť z bodu A do bodu S.

Komplikovať úlohu. Koľko spôsobov, ako položiť karty v Solitaire? V 36 kartách - toto je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, potrebujete z počiatočného bodu na "odobrať" na rovnakej mape a znásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32 ... X2x1 \u003d výsledok sa nezmestí obrazovky kalkulačky, takže môže byť jednoducho označený 36!. Znamenie "!" V blízkosti čísla označuje, že celý počet čísel sa navzájom líši.

Combinatorics predstavuje takéto koncepty ako permutácia, ubytovanie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Umiestnenie sa nazýva objednaná sada súborov súborov. Umiestnenie môže byť s opakovaním, to znamená, že jeden prvok môže byť použitý niekoľkokrát. A bez opakovania, keď sa položky neopakujú. n Sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sú zapojené do ubytovania. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude:

A n m \u003d n! / (N-m)!

Zlúčeniny z n prvkov, ktoré sa líšia len poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácia. V matematike má formulár: p n \u003d n!

Kombinuje z n prvkov na m sa nazývajú takéto zlúčeniny, v ktorých je dôležité, ktoré prvky boli a aké sú ich celkom. Vzorec sa pozrie na:

A n m \u003d n! / M! (N-m)!

Bernoulli Formula

Pri teórii pravdepodobnosti, ako aj v každej disciplíne existujú v oblasti výskumných pracovníkov vynikajúce práce, ktorí ho priniesli na novú úroveň. Jedným z týchto diel je Bernoulli Formula, ktorý umožňuje určiť pravdepodobnosť určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že vzhľad a v experimente nezávisí od vzniku alebo sa nezobrazuje rovnaká udalosť v predtým vykonávaných alebo nasledujúcich testoch.

Bernoulliová rovnica:

P n (m) \u003d c n m × p m × q n-m.

Pravdepodobnosť (P) vzhľadu udalosti (A) sa nezmení pre každý test. Pravdepodobnosť, že sa situácia stane presne m-krát v n množstvách experimentov sa vypočíta vzorcom, ktorý je uvedený vyššie. V súlade s tým, že otázka nastane, ako zistiť číslo Q.

Ak sa udalosť nastáva, v tomto poradí, nemusí prísť. Jednotka je číslo, ktoré sa má označiť všetkými výsledkami situácie v disciplíne. Preto Q je číslo, ktoré znamená možnosť nenosených udalostí.

Teraz poznáte Formula Bernoulli (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh (prvá úroveň) sa ďalej zvažujú.

Úloha 2: Návštevník obchodu urobí nákup s 0,2 pravdepodobnosťou. 6 návštevníkov navštívili obchod. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník urobí nákup?

Riešenie: Vzhľadom k tomu, že nie je známe, koľko návštevníkov by mal urobiť nákup, jednu alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A \u003d "Návštevník urobí nákup."

V tomto prípade: p \u003d 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým, Q \u003d 1-0,2 \u003d 0,8.

n \u003d 6 (pretože obchod má 6 návštevníkov). Číslo m sa zmení z 0 (žiadny kupujúci nevytvorí nákup) na 6 (všetci návštevníci na ukladanie niečoho bude zakúpené). V dôsledku toho získame riešenie:

P6 (0) \u003d CO 6 x p 0 × Q6 \u003d Q6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Žiadny z kupujúcich nevykoná nákupu s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak je bernoulli vzorca (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) Ďalej.

Po vyššie uvedenom príklade sa otázky vznikajú o tom, kde sa majú zdieľať a r. V porovnaní s číslom P na stupeň 0 sa rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno nájsť vo vzorci:

C n m \u003d n! / M! (N-m)!

Pretože v prvom príklade m \u003d 0, c \u003d 1, ktorý v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa snažme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) \u003d C62 × p2 × q 4 \u003d (6 × 5 × 4 x 3 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 \u003d 15 × 0,04 x 0,4096 \u003d 0,246.

Nie tak zložitá teória pravdepodobnosti. Bernoulli vzor, \u200b\u200bz ktorých príklady sú uvedené vyššie, čo je priamy dôkaz.

Vzorec Poisson

Poissonová rovnica sa používa na výpočet nepravdepodobných náhodných situácií.

Základný vzorec:

P n (m) \u003d λ m / m! × e (-λ).

V tomto prípade λ \u003d n x p. Toto je taký jednoduchý poissonový vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh sa ďalej zvažujú.

Úloha 3.: Pri výrobnom z výroby boli diely vo výške 100 000 kusov. Vzhľad chybnej časti \u003d 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že 5 chybných častí bude v strane?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobné udalosť, a v súvislosti s ktorými sa na výpočet použije poissonový vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov tohto druhu sa nelíšia od iných úloh disciplíny, v redukovanom vzorci sme nahrádzali potrebné údaje:

A \u003d "náhodne vybraná položka bude chybná."

p \u003d 0,0001 (podľa stavu priradenia).

n \u003d 100000 (počet častí).

m \u003d 5 (chybné časti). Náhradnú údaje vo vzorci a získame:

P 100000 (5) \u003d 10 5/5! X E -10 \u003d 0,0375.

Rovnako ako Firemný vzorec Bernoulli (teória pravdepodobnosti), príklady riešení s pomocou, ktorého sú napísané vyššie, poissonová rovnica má neznámy e. V skutočnosti možno nájsť vo vzorci:

e -λ \u003d LIM N -\u003e ∞ (1-λ / n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, v ktorých sú takmer všetky hodnoty.

Moavaroors Laplace Theorem

Ak je počet testov v Bernoulli v systéme Bernoulli, a pravdepodobnosť udalosti a vo všetkých schémach je rovnaká, potom je pravdepodobnosť udalostí a určitý počet časov v sérii testov nájdete ako Laplace Formula:

P n (m) \u003d 1 / √NPQ x φ (x m).

X m \u003d m-np / √npq.

Ak chcete lepšie zapamätať sa na vzorec Laplace (teória pravdepodobnosti), príklady úloh na pomoc nižšie.

Najprv nájdeme x m, nahrádzame údaje (všetky sú uvedené vyššie) vo vzorci a získajú 0,025. S pomocou tabuliek nájdeme číslo φ (0,025), ktorej hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje vo vzorci:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Tak, pravdepodobnosť, že reklamný leták bude fungovať presne 267 krát, je 0,03.

Vzorec.

Bayes Formula (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia úloh, s ktorými budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá opisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ním mohli súvisieť. Hlavný vzorec má nasledujúci formulár:

P (a | b) \u003d p (v | a) x p (a) / p (c).

A A B sú určité udalosti.

P (a | b) - podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť môže nastať a za predpokladu, že udalosť je pravdivá.

P (v | a) - podmienená pravdepodobnosť podujatia V.

Takže posledná časť malého kurzu "teória pravdepodobnosti" je vzorec Bayes, príklady riešení úloh, s ktorými nižšie.

Úloha 5.: Sklad priniesol telefóny z troch spoločností. Súčasne je časť telefónov, ktoré sú vyrobené v prvej závode 25%, v druhej - 60%, na treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvej továrni je 2%, v druhej - 4% av treťom - 1%. Je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A \u003d "náhodne prijatý telefón."

V 1. telefóne, ktorý urobil prvú továreň. Zdá sa teda úvodná strana v 2 a 3 (pre druhú a tretiu továrne).

V dôsledku toho dostaneme:

P (v 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (v 2) \u003d 0,6; P (v 3) \u003d 0,15 - takže sme našli pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienenú pravdepodobnosť požadovanej udalosti, to znamená, že pravdepodobnosť chybných výrobkov v firmách:

P (a / v 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (a / v 2) \u003d 0,04;

P (A / IN 3) \u003d 0,01.

Teraz budeme nahradiť údaje v Bayes Formule a získajte:

P (a) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorcov a príklady riešenia problémov, ale je to len vrchol ľadovcovej rozsiahlej disciplíny. A po všetkých napísaných, bude logické opýtať sa, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Je ťažké odpovedať na jednoduchú osobu na odpoveď, je lepšie sa opýtať na to, kto, s jej pomocou, netrhal Jack-pot.

2.1. Výber matematického prístroja teórie spoľahlivosti

Stanovenie spoľahlivosti vyššie zjavne nie je dosť, pretože je to len kvalitatívny charakter a neumožňuje riešenie rôznych inžinierskych úloh v procese navrhovania, výroby, testovania a prevádzky leteckých zariadení. Najmä neumožňuje riešiť také dôležité úlohy, ako napríklad:

Hodnotiť spoľahlivosť (spoľahlivosť, redukovateľnosť, zachovanie, pripravenosť a trvanlivosť) existujúcich a vytvorených nových návrhov;

Porovnať spoľahlivosť diferenciálnych prvkov a systémov;

Vyhodnotiť účinnosť obnovenia chybných lietadiel;

Odôvodnenie plánov opravy a zloženie náhradných dielov potrebných na zabezpečenie letových pracovných plánov;

Určiť objem, frekvenciu, náklady na vykonávanie prípravkov na let, regulačné práce a celý komplex údržby;

Určite náklady na čas, STL a prostriedky potrebné na obnovenie chybných technických zariadení.

Obtiažnosť určovania kvantitatívnych charakteristík spoľahlivosti vyplýva z povahy porúch, z ktorých každý je výsledkom náhody viacerých nepriaznivých faktorov, ako je napríklad preťaženie, miestne odchýlky od vypočítaného režimu prevádzky Prvky a systémy sú chybné materiály, meniace sa vonkajšie podmienky, atď., Ktoré majú kauzálne väzby rôzneho stupňa a rôzny charakter, ktorý spôsobuje náhly koncentrácie zaťaženia nad vypočítaným zaťažením.

Zlyhania leteckej techniky závisia od mnohých dôvodov, ktoré sa v predbežnom odhadujú, pokiaľ ide o ich množstvo ako prvoradé alebo menšie. To je výzva na zváženie počtu porúch a čas ich vzhľadu 1 kvality náhodných premenných, tj hodnoty, ktoré závisia od prípadu, môžu mať rôzne hodnoty, ktoré nie sú známe, keď nie je známe .

Zriadenie kvantitatívnych závislostí klasicky - III Metódy s takou zložitou situáciou, takmer nie - 1k 11 môže, pretože mnohé menšie náhodné faktory hrajú takúto významnú úlohu, ktorú nie je možné prideliť prvému M'PEN, hlavné faktory z mnohých iných nemôže byť. Okrem toho používanie iba klasických metód IP - "výskum na základe zváženia namiesto fenoménu rozlúčkovej a idealizovaného modelu postaveného na účet. Ste hlavné faktory a zanedbávané sekundárne, vždy dáva správny výsledok.

Osoba na štúdium takýchto javov v súčasnosti s dosiahnutým úrovňou rozvoja vedy a techniky, teórie pravdepodobnosti a RO. EMN je postavenie starostlivosti - vedy Štúdium zákona - III v náhodných javoch av niektorých prípadoch dobre až do - IIIі\u003e '111) 110111110 Klasické metódy.

Tieto metódy by mali obsahovať nasledovné і pH yu geletu:

І) sіyіn'іrnch'kіee metódach, bez odhalenia individuálnych ї a dôvodov zlyhania PI LGLYUGO, určiť namiesto toho

......... і. І рvniiiii o PC IYII. І.іga masové vykorisťovanie s

Mlyn ............ (Іknіmo (hra і sever) v podmienkach

"V hi і" ї і і і і і і і і і ііпм і

"І" і і і) nі і ~ II'ii kii metódy získané

1 "......... і і і oni hľadajú m subenoons zodpovedať všetkému

1 .. pіk "pcarn. v. IK UKLION PREVÁDZKA, NIE SÚ RAKČNÝ ALEBO MI SHROUSKOU m і..і základom hromadných pozorovaní pre vzhľad osi і і. Jún I je možné identifikovať všeobecné vzory, ktorej inžinierska analýza otvára spôsob, ako zvýšiť PND leteckého zariadenia v procese jeho tvorby a ale root na danej úrovni počas prevádzky.

Špecifikované výhody tohto matematického prístroja sú stále len prijateľné len na štúdium vypočúvania spoľahlivosti leteckých zariadení. Zároveň by sa v praxi mali zohľadniť osobitné obmedzenia, prize

Štatistické metódy, ktoré nemôžu odpovedať na otázku, či toto technické zariadenie bude fungovať na fungovanie funkcie, ktoré sú pre nás alebo nie. Tieto metódy poskytujú príležitosť len na určenie pravdepodobnosti bezproblémovej prevádzky konkrétnej inštancie leteckej techniky a posúdiť riziko, že obdobie záujmu, ktoré nás zaujíma, je odmietnutie.

Závery získané štatistickými prostriedkami sú vždy založené na predchádzajúcich skúsenostiach prevádzkovej technológie lietadiel, a preto posúdenie budúcich zlyhaní bude prísni len so pomerne presnou náhodou celého súboru prevádzkových podmienok (spôsoby prevádzky, skladovacích podmienok).

Aby sa analyzovať a vyhodnotiť zvyšovanie a pripravenosť leteckých zariadení, tieto metódy tiež používajú tieto metódy s použitím vzorov teórie hromadnej údržby a najmä niektorých častí teórie obnovy.

Libert Elena

Azart a smäd zbohatnúť dal impulzovi na vznik novej mimoriadne podstatnej matematickej disciplíny: pravdepodobnostné teórie. Vo vývoji svojich základov, matematika takej miery, ako je Pascal a Farm, sa zúčastnili.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

MBOU SS №8 G. Yartsevo Smolensk región

Projekt v matematike:

"História vzniku teórie pravdepodobnosti"

Pripravený: študent triedy 11

high School №8 Libert Elena

Leader: učiteľ matematiky

BORISENKOVA OLGA VLADIMIROVNA

Yartsevo, 2015

História výskytu teórie pravdepodobnosti .......................................... .................................................... .................. ... ... 3

Stredoveká Európa a začiatok nového času .............................. 4

XVII storočia: Pascal, Farm, Guygens ... .. ....................................... ... 5

XVIII storočia ...... .. ............................................ ................................ 7

XIX storočia. Bežné trendy a kritika .......................................... ..7

Aplikácia teórie pravdepodobnosti v XXIX-XX storočia ..................... ... ... 8

Astronómia ................................................... ....................8.
Fyzika ............................... .................... .......................... 9
Biometrics ......................................................... ...................... 9
Poľnohospodárstvo ................................................. ...... ..9
Priemysel ................................................... .......... 10
Medicína ................................................. ................... .... 10
Bioinformatika ....................................................... ........... .10
Ekonomika a bankovníctvo ....... ......................................

História vzniku teórie pravdepodobnosti

Francúzsky šľachtici, niektorý pán Deer, bol hráč hráča v kosti a vášnivo chcel zbohatnúť. Strávil veľa času na otvorenie tajomstva hry v kosti. Vymyslel si rôzne možnosti hry, za predpokladu, že tak by získal významný stav. Tak napríklad ponúkol, že hodí jednu kosť zase 4-krát a presvedčený partner, ktorý by aspoň raz vypadol. Ak pre 4 hádzanie šesť nešiel von, oponenta vyhral.

V tých dňoch ešte nebola vetva matematiky, ktorú dnes nazývame teóriu pravdepodobnosti, a preto sa uistiť, či sú jeho predpoklady pravdivé, pán Rozsah sa obrátil na svojho priateľa, slávnej matematiky a filozofu B. Pascal s požiadavkou naučiť sa dve slávne otázky, z ktorých sa pokúsil vyriešiť. Otázky boli takéto:

Koľkokrát potrebujete hodiť dve hracie kosti, takže existuje viac ako polovica celkového hádzania - výzvy na to, aby ste mohli príležitosti dvoch šiestich hodín?

Ako len spravodlivo rozdeliť peniaze stanovené na tých istých hráčov, ak zastavili hru predčasne z niektorých dôvodov?

Pascal sa o to nezaoberal nielen, ale tiež napísal list slávnemu matematiku P. Farme, ktorý ho vyvolal, aby sa zapojili do všeobecných zákonov hry v kosti a pravdepodobnosti víťazstva.

Vzrušenie a smäd, aby si bohatý, dali impetickému vzniku novej extrémne podstatnej matematickej disciplíny: pravdepodobnostné teórie. Vo vývoji svojich základov, matematiky takej miery, ako je Pascal a Farm, Guygens (1629-1695), ktorý napísal cestu "o osadách v hazardných hrách", Yakov Bernoulli (1654-1705), MOAVR (1667-1754) , Laplace (1749- 1827), Gauss (1777-1855) a Poisson (1781-1840). V súčasnosti sa teória pravdepodobnosti používa takmer vo všetkých odvetviach poznatkov: v štatistikách, predpovede počasia (predpoveď počasia), biológia, ekonómia, technológia, stavba, atď.

Stredoveká Európa a začiatok nového času

Prvé úlohy pravdepodobnostného charakteru vznikli v rôznych hazardných hrách - kosti, mapy atď. Francúzsky Canonon XIII storočia Richard de Friendil správne vypočítal všetky možné body bodov po tom, čo hodilo tri kosti a poukázali na počet spôsobov, ako každý z týchto množstiev UPOZORNENIE. Tento počet metód je možné považovať za prvú číselnú mieru očakávanej udalosti, podobnej pravdepodobnosti. Zariadenie a niekedy aj po ňom, toto opatrenie bolo často nesprávne vypočítané nesprávne, pričom sa uvažuje napríklad, že sumy 3 a 4 body sú rovnako, pretože obaja sa môžu ukázať ako "jedným spôsobom": podľa výsledkov hodiť "tri jednotky" a "dve dve jednotky". Nebolo zohľadnené, že tri jednotky sú v skutočnosti len jedným spôsobom: ~ 1 + 1 + 1 a dvakrát s dvoma jednotkami - tri: ~ 1 + 1 + 2; 1 + 2 + 1; \\ t 2+ 1 + 1, takže tieto udalosti nie sú rovné. Podobné chyby sa opakovane stretli v budúcej histórii vedy.

V rozsiahlej matematickej encyklopédii "súčet aritmetiky, geometrie, vzťahov a proporcií" Talianska Luke Pachet (1494) obsahuje originálne úlohy na tému: Ako rozdeliť ponuku medzi dvoma hráčmi, ak je séria hier prerušená skoro. Príkladom takejto úlohy: Hra ide až do 60 bodov, víťaz dostane celú stávku v 22 DUCAT, počas hry prvý hráč strelil 50 bodov, druhý - 30, a potom hra musela zastaviť hru; Je potrebné spravodlivo rozdeliť počiatočnú sadzbu. Riešenie závisí od toho, čo je chápané v časti "Fair"; Pachet sám navrhol rozdeliť úmerne skórované body (55/4 a 33/4 Ducata); Neskôr sa jeho rozhodnutie uznalo nesprávne.

Distribúcia množstva okuliarov po hádzaní dvoch kostí

Veľký algebraista XVI storočia Jerolamocardano venoval analýze hry zmysluplného monografie "Kniha hry v kosti" (1526, publikovaná posmrtne). CARDANO vykonal kompletnú a bezchybnú kombináciu analýzy pre hodnoty bodov bodov a poukázal na očakávanú hodnotu podielu "priaznivých" udalostí pre rôzne udalosti: napríklad pri hádzaní troch kostí, podiel prípady, keď sa hodnoty všetkých 3 kostí zhodujú 6/216 alebo 1/36. CARDANO urobil dôkladnú poznámku: Skutočný počet podujatí pod štúdiom sa môže líšiť v malom počte hier, aby sa od teoretických, ale viac hier v sérii, podiel tohto rozdielu je menej. Kardano sa v podstate oslovilo koncepciu pravdepodobnosti:

Takže, existuje jedno všeobecné pravidlo pre výpočet: je potrebné vziať do úvahy celkový počet možných vkladov a počtu spôsobov, ktorými sa tieto kvasnosti môžu objaviť, a potom nájsť pomer posledného počtu zostávajúcich možných vkladov .

Ďalší taliansky algebraist, Niccolo Tartallia, kritizoval prístup PACHET k riešeniu problému sekcie sadzby: Koniec koncov, ak jeden z hráčov nemal čas na nábor jedného bodu, algoritmus Pachet dáva všetku stávku na svojho súpera, ale Je ťažké zavolať na to, pretože niektoré šance na výhru je stále zaostávajúci. CARDANO A TARTALLIA ponúkli svoje vlastné (rôzne) spôsoby separácie, ale neskôr boli tieto metódy uznané ako neúspešné.

Štúdium tejto témy sa zaoberá Galileo Galilee, ktorý napísal ošetrenie "na výťažku okuliarov pri hraní kosti" (1718, publikovaný posmrtne). Prezentácia teórie Galilee Game sa vyznačuje vyčerpávajúcou plnosťou a jasnosťou. Vo svojej hlavnej knihe "Dialóg o dvoch hlavných systémoch sveta, ptoolomeva a Copernikova" Galile tiež poukázal na schopnosť vyhodnotiť chybu astronomických a iných meraní, a vyhlásil, že malé chyby merania s najväčšou pravdepodobnosťou ako veľké, odchýlky v oboch Strany sú rovnako rovnaké a priemerný výsledok by mal byť blízky skutočnému významu nameranej hodnoty. Tieto kvalitatívne uvažovanie sa stalo prvým v histórii predikcie normálnej distribúcie chýb.

XVII storočia: Pascal, Farm, Guignes

V XVII storočí sa objavila jasná myšlienka problému teórie pravdepodobnosti a prvých matematických (kombinatorických) metód riešenia pravdepodobnostných úloh. Zakladatelia matematickej teórie pravdepodobnosti boli Blaise Pascal a Pierre Farm.

Pred tým, matematik-amatérsky Chevalie defectes sa obrátil na Pascal o tzv. "Úlohe okuliarov": Koľkokrát potrebujete hodiť dva kosti, aby ste simultánne stratili aspoň dvakrát to bolo ziskové? Pascal a farma vstúpili do vzájomnej korešpondencie o tejto úlohe a súvisiacich otázkach (1654). V rámci tejto korešpondencie vedci diskutovali o radom problémov spojených s pravdepodobnostnými výpočtami; Najmä stará úloha úseku sadzby bola zvážená a obaja vedci prišli k rozhodnutiu, že bolo potrebné rozdeliť sadzbu podľa zostávajúcich šancí na výhru. Pascal poukázal na opatrenie na chybu pri riešení "cieľov o okuliaroch": zatiaľ čo dealeta nesprávne identifikovala rovnovážne udalosti, po prijatí odpovede: 24 hodiť, Pascal dal správnu odpoveď: 25 Shots.

Pascal v jeho spisoch oveľa pokročilý používanie kombinatorických metód, ktoré systematizovali vo svojej knihe "Ošetrite na aritmetickom trojuholníku" (1665). Na základe pravdepodobnostného prístupu Pascal dokonca argumentoval (v posmrtne publikovaných poznámkach), ktoré sú ziskovšie ako ateista.

Guignes, najprv použil termín "náklady", a termín "čakania" sa objavil prvýkrát, keď bol po správe Huygens van Sokhutene prevedený do latinského jazyka a bol všeobecne prijatý vo vede.

Kniha má veľký počet úloh, niektorí s riešeniami, inými "pre nezávislé riešenie." Osobitný záujem a živá diskusia spôsobila "úlohu zničiť hráča." V trochu zovšeobecnenej forme je formulovaný takto: Hráči A a B majú A a B mince, v tomto poradí, v každej hre Jeden mince vyhrá, pravdepodobnosť výhru A v každej hre je rovná P, je potrebné nájsť pravdepodobnosť jeho úplnej zrúcaniny. Úplné celkové riešenie problému "Povinnosti" dal Abraham de MoAVR o pol storočia neskôr (1711). V súčasnosti sa pravdepodobnostná schéma "zničených úloh" používa pri riešení mnohých výziev ako "Random putovanie".

Huygens analyzované a úloha úseku sadzieb, ktorá jej konečné rozhodnutie: sadzba by mala byť rozdelená v pomere k pravdepodobnosti výhier, keď hra pokračuje. Prvýkrát aplikoval aj pravdepodobnostné metódy na demografické štatistiky a ukázali, ako vypočítať priemernú dĺžku života.

Do tej istej doby zahŕňajú uverejnenie anglickej štatistiky John Courting (1662) a William Petti (1676, 1683). Spracovanie údajov Viac ako jedno storočie ukázali, že mnohé demografické vlastnosti populácie Londýna, napriek náhodným výkyvom, sú pomerne udržateľné - napríklad pomer počtu novorodenných chlapcov a dievčat sa zriedka odchýlil od podielu 14 až 13, vibrácie a percento úmrtnosti z konkrétnych náhodných príčin. Tieto údaje pripravili vedeckú komunitu na vnímanie nových myšlienok.

Grace tiež prvýkrát zostavila stôl úmrtnosti - pravdepodobnostné tabuľky smrti ako funkcie veku. Johann Hood a Yang de Witt v Holandsku, ktorý v roku 1671 predstavoval aj stôl úmrtnosti a použili ich na výpočet veľkosti prenájmu života v roku 1671 boli aj otázky teórie pravdepodobnosti a jeho používania na demografické štatistiky. Podrobnejšie, tento rozsah problémov bol uvedený v roku 1693 Edmund Gamem.

XVIII storočia

Na začiatku XVIII storočia, ošetrovanie štúdie Pierre de Montmor "Skúsenosti" (publikované v roku 1708 a prešli s doplnkami v roku 1713) a Jacob Bernoulli "Umenie predpokladov" (publikované po smrti vedeckého, v tom istom roku 1713 ). Ten mal pre teóriu pravdepodobnosti obzvlášť dôležitá.

XIX storočia

Všeobecné trendy a kritika

V XIX Centure, počet práce na teórii pravdepodobnosti naďalej rástol, dokonca aj kompromisné vedy pokusy o šírenie svojich metód sú ďaleko nad rámec primeraných limitov - napríklad na morálke morálky, psychológie, presadzovania práva a dokonca teológie. Najmä velšový filozof Richard Cena a po ňom a Laplace bol považovaný za možný vypočítať pravdepodobnosť nadchádzajúceho východu slnka, Poisson sa pokúsil vykonať pravdepodobnostnú analýzu spravodlivosti súdnych viet a spoľahlivosť svedecké svedectvo. Filozofa J. S. Mill v roku 1843, ktorý označuje také špekulatívne aplikácie, nazývané kalkulovanie pravdepodobností "hanba matematiky". Toto a ďalšie odhady svedčia o nedostatočnej prísnosti odôvodnenia teórie pravdepodobnosti.

Matematické prístroje teórie pravdepodobnosti medzičasom sa naďalej zlepšilo. Hlavnou srančou jeho aplikácie v tom čase bolo matematické spracovanie výsledkov pozorovania obsahujúce náhodné chyby, ako aj výpočty rizík v poistení a iných štatistických parametroch. Medzi hlavné uplatňované úlohy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky XIX storočia môžu byť nazývané:

nájdite možnosť, že súčet nezávislých náhodných premenných s rovnakým (známym) zákonom o distribúcii je v stanovených limitoch. Tento problém bol obzvlášť dôležitý pre teóriu chýb merania, primárne na posúdenie chyby pozorovania;

nastavenie štatistickej významnosti rozdielu v náhodných hodnotách alebo sérii takýchto hodnôt. Príklad: Porovnanie výsledkov uplatňovania nových a starých druhov liekov na rozhodnutie o tom, či je nový liek skutočne lepší;

Štúdium vplyvu daného faktora na náhodnú premennú (faktor analýza).

Už v polovici storočia XIX sa vytvorí pravdepodobnostná teória delostreleckého snímania. Väčšina hlavných krajín v Európe vytvorila národné štatistické organizácie. Na konci storočia sa rozsah pravdepodobnostných metód začal riadne šíriť fyzike, biológii, ekonomike, sociológii.

Použitie teórie pravdepodobnosti v XIX-XX storočí.

V 19. a 20. storočí, pravdepodobnostná teória preniká do vedy (astronómia, fyziky, biológie), potom do praxe (poľnohospodárstvo, priemysel, medicína), a nakoniec, po vynáleze počítačov, v každodennom živote akejkoľvek osoby, ktorá používa Moderné prostriedky na získanie a prenos informácií. Pozrime sa na použitie v rôznych oblastiach.

1. Astronómia.

Bolo to na použitie v astronómii, že slávna "metóda najmenších štvorcov" bola vyvinutá (Legender 1805, Gauss 1815). Hlavná úloha, aby sa vyriešila, ktorá bola pôvodne použitá, bola výpočet kométu dráhy, ktorá bola dosiahnutá na malom počte pozorovaní. Je zrejmé, že spoľahlivá definícia typu obežnej dráhy (elipsy alebo hyperbole) a presný výpočet jej parametrov je ťažké, pretože obežná dráha je pozorovaná len v malej oblasti. Metóda sa ukázala byť účinná, univerzálna a spôsobila rýchlu diskusiu o priorite. Začalo sa používať v geodézii a kartografii. Teraz, keď je umenie manuálnych výpočtov stratené, je ťažké si predstaviť, že pri zostavovaní svetových oceánskych kariet v roku 1880 v Anglicku bol systém pozostávajúci z približne 6 000 rovníc s niekoľkými stovkami neznámy čísel vyriešený spôsobom najmenšieho štvorcov.

2.Physík.

V druhej polovici 19. storočia, Maxwell, Boltzmann a Gibbs vyvinuli štatistickou mechanikou, ktorá opísala stav vypúšťaných systémov obsahujúcich obrovské množstvo častíc (postup pre číslo Nogadro). Ak už skôr koncepcia distribúcie náhodnej premennej bola prevažne kvôli distribúcii chýb merania, potom sa ukázali rôzne rýchlosti, energie, voľné dĺžky najazdených kilometrov.

3.biometria.

V roku 1870-1900 Belgick Ketle a British Francis Galton a Karl Pearson založili novú vedeckú smeru - biometria, v ktorej sa neisté variabilita živých organizmov a dedičstvo kvantitatívnych príznakov začali systematicky a kvantitatívne. Vedecký obrat zaviedol nové koncepty - regresie a korelácie.

Až do začiatku 20. storočia boli hlavné aplikácie teórie pravdepodobnosti spojené s výskumom. Implementácia do praxe - poľnohospodárstvo, priemysel, liek došlo v 20. storočí.

4. Predaj hospodárstva.

Na začiatku 20. storočia v Anglicku bola doručená úloha kvantitatívneho porovnania účinnosti rôznych metód poľnohospodárstva. Na vyriešenie tohto problému bola vyvinutá teória experimentovaného plánovania, disperznej analýzy. Hlavnou zásluhou vo vývoji tohto už čisto praktického využívania štatistík patrí Sir Ronald Fisher, Astronomu podľa vzdelávania, a v ďalšom poľnohospodárovi, štatistike, genetikou, prezidentovi britskej kráľovskej spoločnosti. Moderné matematické štatistiky vhodné na rozšírené použitie v praxi bolo vyvinuté v Anglicku (Karl Pearson, študent, rybár). Študent najprv vyriešil úlohu posúdiť neznámy parameter distribúcie bez použitia bayezívneho prístupu.

5. Priemysel.

Zavedenie metód štatistickej kontroly vo výrobe (Shukhart Control Maps). Zníženie požadovaného množstva testov kvality výrobkov. Matematické metódy sú už také dôležité, aby začali klasifikovať. Takže kniha s popisom novej metodiky, ktorá umožnila znížiť počet testov ("konzistentná analýza" Wald ("Waldova konzistentná analýza") bola zverejnená až po skončení druhej svetovej vojny v roku 1947.

6.Zdravie.

Rozšírené používanie štatistických metód v medicíne sa začalo relatívne nedávno (druhá polovica 20. storočia). Vývoj účinných spôsobov liečby (antibiotiká, inzulín, účinná anestézia, umelý krvný obeh) požadoval spoľahlivé metódy na posúdenie ich účinnosti. Tam bol nový koncept "medicíny založená na dôkazoch". Začali sa vyvinúť formálnejší, kvantitatívny prístup k terapii mnohých chorôb - zavedenie protokolov, usmernení.

Od polovice 1980 vznikol nový a najdôležitejší faktor, revolúciu všetkých aplikácií teórie pravdepodobnosti - možnosť rozšíreného využívania rýchlych a cenovo dostupných počítačov. Môžete cítiť všetky fumy incidentu. Termonukleárna bomba. Teraz je možné získať spôsob priameho experimentovania výsledkami, ktoré boli predtým nedostupné - názorovateľné.

7.bioinformatika.

Od 80. rokov sa počet známych sekvencií proteínov a nukleových kyselín rýchlo zvyšuje. Množstvo nahromadených informácií je, že iba počítačová analýza týchto údajov môže vyriešiť úlohy na ťažbu informácií.

8. Ekonomika a bankovníctvo.

Rozšírené použitie má teóriu rizík. Teória rizika je teória rozhodovania v pravdepodobnostnej neistote. Z matematického hľadiska je sekcia teórie pravdepodobnosti a aplikácie teórie rizík sú prakticky neobmedzené. Finančná oblasť žiadostí je najviac podporovaná: bankovníctvo a poistenie, riadenie trhu a úverové riziká, investície, obchodné riziká, telekomunikácie. Nefinančné žiadosti sa vyvíjajú súvisiace s hrozbami zdravia, životného prostredia, rizík nehôd a environmentálnych katastrof a iných smerov.